Bonjour,

J'essaie de calculer le moment d'inertie de differents solides mais je me heurte à une difficulté :

J'ai commencé par calculer celui d'un cylindre par rapport a l'axe "central" avec la formule 

J = ∫r² dm 

Je trouve le bon résultat J = 1/2 * M * R²

Cependant, pour la boule je trouve le résultat de J = 3/5 * M * R² au lieu de 2/5 * M * R²
Après une recherche sur le forum j'ai vu ce post : 

https://openclassrooms.com/forum/sujet/moment-d-inertie-d-une-sphere#_=_

Cependant une question demeure :

Je ne comprends pas pourquoi lorsque j'applique cette formule au cylindre j'obtiens un résultat par rapport à un axe alors que lorsque je l'applique à la boule mon résultat est par rapport à un point.

Merci d'avance d'éclairer ma lanterne

dans le lien que tu indiques,   j'avais déjà posté pour donner une explication.
Je suppose que si tu trouves \(\frac{3}{5}MR^2\), c'est que tu as calculé l'intégrale en prenant la distance de chaque point au centre de la sphère \(r^2=x^2+y^2+z^2\).
Pour obtenir la moment par rapport à un axe diamétral,en supposant que on choisisse Oz ( de toute façon par symétrie, le moment d'inertie est identique par rapport à n'importe quel diamètre), il faut calculer l' intégrale avec \(r^2= x^2+y^2\), ce qui conduit à  \(\frac{2}{5}MR^2\).

Le problème général du moment d'inertie pour un solide quelconque ramené à un repère Oxyz  par rapport à un axe quelconque passant par O fait appel à quelques notions un peu  plus avancées.

On peut définir les moments d'inertie par rapport   au axes du repère \(I_{xx},I_{yy},I_{zz}\), termes de la forme \(\int x^2dm\), mais dans le cas général existent aussi des moments croisés non nuls   \( I_{xy}, I_{yx}I_{xz}, I_{zx}, I_{yz}, I_{zy}\), termes de la forme \(\int xydm\). 
En fait ces neufs valeurs se réduisent à six car les termes croisés sont symétriques.
Il y a une forte analogie dans le traitement mathématique général avec le tenseur des contraintes. En effet on montre que ces valeurs d'inertie forment ce que l'on appelle le tenseur d'inertie en un point que on peut mettre sous la forme d'une matrice symétrique 3x3. La connaissance de ces six valeurs permet de calculer l'inertie par rapport à un axe quelconque (cf. fin du post).
On montre que cette matrice est diagonalisable ce qui signifie qu'il existe un repère dit principal où les termes croisés sont nuls.
Lorsque le solide présente des symétries élevées , ce repère principal est facile à trouver. Ainsi dans le cas de la sphère n'importe quel repère orthonormé est principal avec  \(I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}= \frac{2}{5}MR^2\) .

Pour le cylindre , l'axe du cylindre Oz est évidemment principal avec \(I_{zz}=\frac{1}{2}MR^2\), complété par n'importe quel système orthonormé Oxy dans le plan perpendiculaire à l'axe. On peut alors calculer \(I_{xx}=I_{yy}=\frac{M}{4}(R^2 + \frac{h^2}{3})\) où \(h\) est la hauteur du cylindre.

Dans le cas général, on  peut montrer que la trace de la matrice \(I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}\) est un invariant qui a la propriété intéressante  de valoir 2 fois le moment d'inertie par rapport au point O. Ceci permet dans certains cas de simplifier le calcul du moment d'inertie par rapport à un axe.
Ainsi dans le cas de la sphère , le calcul direct de \(I_{zz}=\int (x^2+y^2)dm\) peut être évité connaissant \(I_O=\frac{3}{5}MR^2\) plus facile à calculer. D’après ce qui précède, on a \(I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=3I_{zz}=2I_O \), d'où \(I_{zz}=\frac{2}{5}MR^2\).

En pratique, la connaissance du tenseur d'inertie d'un solide est nécessaire pour l'étude générale du mouvement de translation/rotation dans l'espace. Dans les problèmes  simples, on demande souvent d'étudier le mouvement de rotation autour d'un axe fixe avec des symétries importantes ( pendule, axe d'une machine tournante, ...) ce qui évite de parler du tenseur d'inertie. Un exemple classique où cette notion est utile est celui du mouvement des toupies ou plus généralement du gyroscope.
La connaissance complète du tenseur d'inertie \([I]\) permet aussi de calculer le moment d'inertie par rapport à n’importe quel axe donné  par ses cosinus directeurs dans le repère de calcul et d'étudier le mouvement de rotation autour   d'un axe quelconque du repère.

On a en effet, si \([n]=( \cos a, \cos b, \cos c)\) définit le vecteur unité de l'axe,   l'inertie par apport à cet axe est  donnée par \([I_{axe}]=[n][I][n^t]\)

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Edité par Sennacherib 27 avril 2018 à 11:09:57

Merci beaucoup,

je comprends mieux maintenant, en espérant que votre explication me permettra d'assurer pour mon concours lundi.

Bonne journée, encore merci