Bonjour.

Je cherche à montrer qu'un nombre A dépendant d'une variable n (entier naturel non nul) est premier ou pas.

A = 4n^3 +6n^2 + 4n + 1 

(désolé mathjax ne marche pas chez moi ou alors je ne sais pas m'en servir)

En testant avec plusieurs valeurs je conjecture que ce nombre n'est pas premier. J'ai également remarqué une cyclicité modulo 5 :

n = 1 ou 2 ou 3 [5] implique 5 divise A

On en déduis que A n'est pas premier si n = 1, 2 ou3 mod 5. Maintenant j'aimerais bien trouver un resultat pour n= 0 mod 5 et n = 4 mod 5 ...

Voila je suis un peu bloqué si quelqu'un pourrait m'aider ou m'aiguiller sur une autre voie ce serait sympa.

PS: l'énoncé est pas hyper clair mais je suppose que A n'est potentiellement pas toujours premier ou non: peut être que dans certains cas il est premier et dans d'autres non.

Merci d'avance !

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Edité par h97 24 décembre 2015 à 15:51:22

désolé pour le double post j'ai appuyé sur le mauvais bouton

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Edité par h97 24 décembre 2015 à 15:44:12

Coucou,

Plutôt que de chercher à passer par des tables de congruences ou des trucs du genre, on peut plus simplement essayer de factoriser \(A\). En l'occurrence, on trouve facilement

\[ A = (2n + 1)(2n^2 + 2n + 1) \]

On en déduit que \(A\) est divisible par chacun de ces deux facteurs. Facile de conclure, non ?

Ah oui merci beaucoup. En fait je sais pas je me suis dit faut pas factoriser sinon on aura plus des nombres entiers etc ...

Eh oui... \(4 = 2 \times 2\) et magie... \(2\) est un nombre entier !

En réalité ce n'est pas le fait de factoriser qui garantit qu'on aura encore des nombres entiers, mais le fait que multiplier deux nombres entiers donne un nombre entier car \(\mathbb{Z}\) est un anneau commutatif. En l'occurrence \(2n+1\) et \(2n² + 2n +1\) sont des entiers par sommes et produits d'entiers (car \(n\in \mathbb{Z} \)) et a fortiori leur produit, donc \(A \in \mathbb{Z}\).

Si l'un de ces facteurs avait été réel quelconque, on n'aurait évidemment pas pu raisonner ainsi.

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Edité par K0ala 24 décembre 2015 à 16:19:43

Au fait comment tu as fait pour factoriser ? Tu as une technique ?

Autre chose: là -1/2 est une racine non entière pourtant ?

J'ai édité ma connerie, les racines éventuelles de \(A\) n'ont rien à voir avec notre problème en l'occurrence. Je viens de me lever.

Ce que je savais par contre, c'est que si je cherchais une racine rationnelle à ce polynôme de la forme \(\frac{p}{q}\) alors nécessairement \(p | 1\) et \(q | 4\). On a ainsi tous les candidats possibles et on trouve vite que la racine est effectivement \(-\frac{1}{2}\). J'ai donc factorisé par \(n+\frac{1}{2}\) avec Hörner :

\[A = \left(n+\frac{1}{2}\right) \left(4n^2 + 4n +2 \right) = \left(n+\frac{1}{2}\right) \times 2 \left(2n^2 + 2n + 1 \right) \]

D'où en faisant rentrer le deux dans le terme de gauche (vu que le but c'est quand même de se retrouver avec des facteurs dans \(\mathbb{Z}\)) :

\[A = (2n+1)(2n^2 + 2n + 1) \]

Evidemment, ça n'aurait pas fonctionné si le terme de droite n'avait pas été aussi bien foutu au départ.

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Edité par K0ala 24 décembre 2015 à 16:44:30

J'ai pas trop réfléchi dessus mais pourquoi p divise 1 et q divise 4 ?

Cela découle directement du lemme de Gauss, comme l'explique Wikipedia.

Wouah c'est génial comme technique ! Merci.

hmm slt vous pouvez m'aider eh bin demain j'ai une évaluation et je suis entrain  de réviser la fiche de ''devoir a la maison'' alors j'ai trouvé un exercice difficile mais le problème c'est que 70 pour cent il va y être un tel exercice dans le Control 

question montrez que 42 à la puissance de 2019 +35 n'est pas premier 

aider moi svp je suis bloquée 

Indication : 42 est 35 sont divisibles par... ?

robun a écrit:

Indication : 42 est 35 sont divisibles par... ?

Par 1, Par -i^2 Par exp(cos(ln(exp(Pi/2))) Par Produit pour K allant de 0 à exp(37)^2 De 0 Par La somme des Racines N-Ième de l'unité + 1 Pour Tout N... Facile !

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Edité par Ryan Carrier 13 décembre 2018 à 9:15:36

wtf ?

6x7 = 42

5x7 = 35

=> 42^2019 + 35 = (6x7)^2019 + 5x7 = 7x6(6x7)^2018 + 5x7 = 7x(6x(42^2018) +5)

donc divisible par 7.

On peut dire les choses sans calcul :

− 42 est un multiple de 7, donc a fortiori \( 42^{2019} \) aussi ;

− 35 est un multilple de 7,

donc leur somme  est un multiple de 7 : ce n'est pas un nombre premier.

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Edité par robun 13 décembre 2018 à 20:25:57