Bonjour à tous, 

je dois montrer qu'une famille de fonction est libre : 

Avec p entier naturel variant de 0 à n.  

Je pose donc le test de liberté, mais là, impossible de trouver une simplification. 

Sh et ch sont des fonctions introduits par l'énoncé, je ne suis censé connaître aucune propriété sauf celles introduites par l'énoncé : 

leurs dérivés et sh²(x) - ch²(x) = 1 

Avec ces données, j'ai essayé de dériver fp(x) mais sans réussite. Outre de calculs longs et harassants, je ne trouve rien d'intéressant et en i=0 j'ai des soucis de définition. 
Je pourrais particulariser, mais je n'ai pas vue de valeur pertinente. 
Auriez-vous d'autres techniques pour montrer qu'une famille de fonction est libre ? A moins que j'ai loupé mes calculs ? 
Bien cordialement.  

Tu demandes d'autres techniques pour montrer qu'une famille de fonctions est libre...  

Quelle est la technique que tu connais ?

Par ailleurs, donne plus d'éléments, en particulier donne les dérivées des 2 fonctions. Ou encore, donne l'énoncé complet de l'exercice, et les résultats que tu as déjà obtenus.

Eh bien, pour les fonctions on n'en a pas vu telle quelle de technique. Du coup, je pose mon test de liberté, mais après je ne peux pas faire grand-chose, la fonction n'est même pas linéaire du coup je suis vraiment bloqué..

Voici l'énoncé : Partie I, page 4   http://www.association-apml.fr/upload/sujet_bce_essec_2017.pd

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Edité par Kyrtu 29 décembre 2020 à 15:35:06

C'est pour la question 11 ?

Est-ce que tu peux écrire ici (en détail) le test de liberté ? (Souvent, c'est ce test qui est l'étape la plus difficile, mais là je crains que la difficulté soit dans les combinaisons de ch et sh.)

As-tu essayé par récurrence sur n ?

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Edité par robun 29 décembre 2020 à 16:14:52

Salut,

Après avoir écrit ton test de liberté, regarde ce que tu obtiens en évaluant en x = 0 (sachant que sh(0) = 0 et que ch(0) = 1). Ça devrait te donner une idée et te permettre ensuite de faire une récurrence par exemple comme @robun l'a conseillé.

https://ibb.co/qy12wrp

J'ai posé le test de liberté. Eh bien si j'évalue en 0, eh bien j'ai 0 = 0 au moins pour les i premiers termes car après sh n'est plus dérivable, mais ce n'est la classe de sa fonction n'est pas précisé. 

Si j'essaie de donner une dérivée explicite, je tombe dans des calculs assez pesant, mais a priori je ne vois rien d'autre... 

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Edité par Kyrtu 30 décembre 2020 à 16:33:37

Bonjour Kyrtu,

Attention, je crois que tu t'es mépris sur les notations : tu parles de dérivation et de classe de la fonction sh mais il s'agit ici de puissance p et n-p, pas de dérivée pième ou n-pième !

Comme te l'ont conseillé les personnes précédentes, l'évaluation en 0 de ta combinaison linéaire nulle te permet de prouver que le scalaire correspondant à \(sh^0ch^n\) est  nulle dans cette combinaison car \(sh^p(0)=0\) pour tout p sauf pour p=0

Pour le scalaire suivant, une manière de procéder peut-être :

- d'évaluer la combinaison en \(x\) non nul;

- de factoriser puis simplifier par \(sh(x)\) (possible car \(sh(x)\neq 0\) quand \(x \neq 0\)

- on ne peut malheureusement plus dire x=0 ici mais on peut le faire tendre vers 0 et conclure par continuité que le scalaire devant \(sh^{1}ch^{n-1}\) est nul.

je te laisse deviner la suite des opérations.

Je précise que c'est une façon de faire, il y en a sûrement d'autres, peut-être plus élégantes, je n'y ai pas réfléchi plus que ça

sylpro a écrit:

Bonjour Kyrtu,

Attention, je crois que tu t'es mépris sur les notations : tu parles de dérivation et de classe de la fonction sh mais il s'agit ici de puissance p et n-p, pas de dérivée pième ou n-pième !

Comme te l'ont conseillé les personnes précédentes, l'évaluation en 0 de ta combinaison linéaire nulle te permet de prouver que le scalaire correspondant à \(sh^0ch^n\) est  nulle dans cette combinaison car \(sh^p(0)=0\) pour tout p sauf pour p=0

Pour le scalaire suivant, une manière de procéder peut-être :

- d'évaluer la combinaison en \(x\) non nul;

- de factoriser puis simplifier par \(sh(x)\) (possible car \(sh(x)\neq 0\) quand \(x \neq 0\)

- on ne peut malheureusement plus dire x=0 ici mais on peut le faire tendre vers 0 et conclure par continuité que le scalaire devant \(sh^{1}ch^{n-1}\) est nul.

je te laisse deviner la suite des opérations.

Je précise que c'est une façon de faire, il y en a sûrement d'autres, peut-être plus élégantes, je n'y ai pas réfléchi plus que ça

Bon Dieu ce sont des puissances ? Ah alors tout s'explique, effectivement en P=0 j'ai 1 par définition et puis par récurrence je montre que le reste des lambda(i) valent 0. 
Effectivement, tout s'éclairci, car j'étais bloqué en pensant que c'étaient des dérivés.... 
Merci bien !