Bonjour, 

Je dois montrer qu'une fonction f est k-lipschitzienne (avec 0<k<1) à l'aide de l'inégalité des accroissements finis, donc pour tout x,y appartenant à R, |f(x)-f(y)|<=k*|x-y|

Mais la fonction est du genre: racine carré d'un polynôme (polynôme qui n'a pas de racine réel).

Si vous pouviez me donner une indication de comment procéder (je suis resté assez flou, car je préférerai réussir en cherchant...)

Merci d'avance 

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Edité par MrSiuol 29 août 2018 à 20:56:58

 Si \(P(x)\) est un polynôme qui n'a pas de racine réelle ,il ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\). Donc \(\sqrt{P(x)}\) est dérivable en tout point de \(\mathbb{R}\) . 

Penser alors que une c.n.s. pour f(x)  k-lipschitzienne est que sa dérivée soit bornée.

\(\dfrac{P'(x)}{2\sqrt{P(x)} } \) est elle bornée sur \(\mathbb{R}\)  , telle est la question...

Merci beaucoup, mais je ne suis pas sûr de comment relier l'inégalité des accroissements finis |f(x)-f(y)|<=k*|x-y| à cette méthode ?

|f(x)-f(y)|<=k*|x-y| <=> |(f(x)-f(y))/(x-y)|<=k <=> |f '(x)| <= k  ?

si ta question est la démonstration de l'équivalence pour une fonction  dérivable , c'est quand même ultra classique et pas très difficile à démontrer  . ( tout document sur le sujet doit contenir cette preuve)

 exemple:   http://www.uma.rnu.tn/telechargement_ressources/fc5f1abfd0692fdd5a3e342254b8e2c0.pdf , page 8 .

  Une  preuve revient donc bien à montrer que la dérivée  que j'ai indiquée est   bornée sur tout \(\mathbb{R}\) . 

Si \(P(x)\) est un polynôme qui ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\), il est clair que la dérivée indiquée sera bornée sur tout intervalle fini donc la fonction lipschitzienne  sur cet intervalle. Mais si l'intervalle est tout \(\mathbb{R}\), la dérivée doit rester bornée quand \(x \rightarrow \infty\), ce qui ne me semble pas évident .

Si \(P(x)\) est un polynôme sans racine, il est nécessairement de degré pair \(2n\), sa dérivée de degré \(2n-1\).Donc \(\dfrac{P'(x)}{2\sqrt{P(x)} } \) me semble avoir une "fâcheuse" tendance à tendre vers l'infini sauf si \(n=1\) .

Sans en savoir plus sur ton problème, j'aurais donc tendance à dire que ta fonction ne  sera lipschitzienne sur tout \(\mathbb{R}\) que si \(P(x)\) est un polynôme du second degré sans racine.

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Edité par Sennacherib 30 août 2018 à 12:25:39

D'accord (j'arrivais pas à faire le lien entre l'inégalité des accroissements finis et la dévrié, merci)

(Oui, c'est bien un polynôme du second degré :D)

Merci, donc pour prouver que cette dérivé est bornée, j'utilise la dérivé seconde pour pontrer que la dérivé première est croissante, et avec ses limites en + et - l'inf, je peux montrer qu'elle est bornée

Que la dérivée première soit croissante, peu importe. Ce qui nous intéresse, c'est de montrer qu'elle est bornée.

Et plus précisément, comme il faut montrer que cette fonction est k-lipsischitzienne avec k<1, il faut montrer que la dérivée première est bornée, et a toutes ses valeurs entre -1 et 1 (-1 et 1 exclus).

MrSiuol a écrit:

Merci, donc pour prouver que cette dérivé est bornée, j'utilise la dérivé seconde pour pontrer que la dérivé première est croissante, et avec ses limites en + et - l'inf, je peux montrer qu'elle est bornée

Ça risque d'être compliqué de calculer la dérivée seconde de ce machin !

À mon avis il faut juste se concentrer sur la démonstration comme quoi la dérivée est bornée. Ce que je ferais a priori, c'est calculer les limites en plus ou moins l'infini. Si elles sont finies, la fonction est bornée (si elle est de plus continue). Sauf que la borne ne serait pas forcément 1, zut... Peut-être qu'il est possible de trouver une fonction simple qui majore la valeur absolue de la dérivée en question, fonction qui serait, elle, bornée par 1. Voilà le genre de piste que j'explorerais.

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Edité par robun 31 août 2018 à 20:48:16

Bien que MrSuiol ne nous ait pas indiqué son polynôme \(P(x)\),  j'ai montré qu'il ne pouvait qu'être du second degré  pour que \(f\) soit k- lipschitzienne ce que MrSuiol a confirmé.

Donc, pour  que \(f\) soit définie sur tout \(\mathbb{R}\), \(ax^2+bx+c\) doit y  rester strictement positif ce qui n'est possible que si \(a>0\).

 On peut voir alors  par une petite manipulation algébrique   que la dérivée  \(\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}=\sqrt{a}\frac{x+b/2a}{\sqrt{(x+b/2a)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}}}\) et par hypothèse de polynôme sans racine, la fraction est, en valeur absolue  inférieure à 1, donc la dérivée inférieure en valeur absolue à   \(\sqrt{a}\) en tout point de \(\mathbb{R}\) .

Donc on aura \(0<k<1\) seulement si  \(a<1\),  et  \(\sqrt{a}\) est la limite en l'infini, ce qui est évident à montrer directement.

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Edité par Sennacherib 1 septembre 2018 à 9:34:08