Bonjour ! J'essaie de résoudre l'exercice suivant :

Une fusée est lancée verticalement et n'est soumise qu'à l'action de la pesanteur. A t = 0, sa masse est m0 et sa vitesse est nulle. Les gaz sont éjectés vers le bas avec la vitesse constante u par rapport à la fusée également verticale (vers le bas), avec un débit massique a constant. 

Calculer v à un instant t 

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer clairement la mise en équation (pour la résolution de l'équa dif je devrais me débrouiller), parce que je ne comprends pas la correction de mon prof. 
Merci ! 

La masse de la fusée dépend du temps puisque la fusée éjecte de la matière. Il suffit ensuite de dire que la quantité de mouvement totale (fusée + gaz) reste constante, donc nulle puisqu'elle l'est au départ.

humm... Ca me paraît relativement faux, dans la mesure où : 

- Le gaz n'est pas ejecté de la fusée à vitesse constante par rapport au sol (seul référentiel galliléen ici), il est ejecté à vitesse constante par rapport à la fusée. Du coup, je vois pas trop comment tu fais pour appliquer ta conservation de la quantité de mouvement.
- La conservation de la quantité de mouvement ne s'applique que dans un référentiel isolé, ce qui est faux puisqu'il est ici soumis à la gravité. D'après le principe fondamental de la dynamique, on a \[\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F} = m\vec{g}\]

Le problème est plus complexe qu'il en a l'air 

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Edité par gasasaa 24 septembre 2017 à 21:07:13

ce que je crois ....

en appliquant le PFD à l'ensemble (fusée + gaz) dans le référentiel d'étude galiléen, on doit trouver, il me semble,  l'équation \(m \dfrac{dv}{dt}=Q_m u-m g\), où \(Q_m \) est le débit massique et \(m=m(t)\) masse de la fusée    dépend évidemment  de \( t\) et on a \(Q_m= -\dfrac{dm}{dt}\), \(Q_m u\) étant la poussée due à l'éjection.
Avec l'hypothèse d'un débit massique constant ,  \( \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{Q_m u}{m}-  g= \dfrac{Q_m u}{m_0 -Q_m t}-  g\) s'intégre sans difficulté  

....Que trouve ton prof ? 

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Edité par Sennacherib 25 septembre 2017 à 12:24:11

Mon prof trouve la même chose, donc tout va bien ! Et j'ai fini par comprendre pourquoi

Le débit massique s'appelle dans l'énoncé \(a\), et non \(Q_{m}\), donc j'utiliserais plutôt cette notation. Le seul système fermé, dans l'expérience, si j'ai bien compris, c'est le système \(\{gaz\;dans\;la\;fusée + fusée\}\), auquel on applique le PFD entre t et t+dt.

\[p(t) = m(t)v(t)\]

\[p(t+dt) = m(t+dt)v(t+dt) + (m(t+dt)-m(t))(v(t+dt) - u)\]
\[p(t+dt) = (m(t) - dm)(v(t)+dv) + dm(v+dv-u) \]

Ensuite, par définition du débit massique : \(a = \frac{dm}{dt}\), donc \(dm = adt\) d'où : 

\[dp = p(t+dt)-p(t) = m(t)v(t) - m(t)v(t) + m(t)dv - adtv - adt dv + adt v + adt dv  - adt u = m(t)dv - adt u\]
\[\frac{dp}{dt} = m(t)\frac{dv}{dt} - au \]

En remplaçant dp par -gm(t), je retrouve donc bien ce que tu as dis plus tôt.

Je viens me rendre compte en recopiant que l'unique raison pour laquelle je ne comprenais pas était une bête erreur de signe et un terme manquant (des erreurs de copies), que j'ai corrigé à l'instant...

désolé pour le temps perdu 

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Edité par gasasaa 25 septembre 2017 à 18:31:31

Je viens d'avoir un DS qui est sur le même sujet (au moins pour les premières questions), et ça me paraît assez intéressant, parce que ça me permet de revenir sur une notion dont ma connaissance est en faite extrêmement bancale.  La démonstration que j'ai mise la dernière fois est celle de ma prof. Elle ne t'a apparemment pas choqué. Pourtant, après réflexion, j'ai l'impression qu'elle n'a pas de sens. 

1 - Si p(t) = m(t)v(t), comme je l'ai écris précédemment dans mon post démontrant la formule donnée, pourquoi ne pas directement dire que \[\frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt} v + \frac{dv}{dt}m(t)\]

Une autre mise en équation, qui me paraîtrait plus judicieuse, et sûrement plus compréhensible, serait celle ci : 

Apparemment, il faut appliquer le PFD à un système fermé. Or, un système fermé, ici, c'est l'ensemble gaz + particules. p(t) du système globale, c'est la somme des p(t) de chaque particule du système. On partitionne cet ensemble en regroupant entre elles toutes les particules de même vitesse. On a donc les particules de la fusée, la vitesse v, et des groupes de particules dm = adt à la vitesse par rapport au référentiel terrestre (v-u).  
Une fois séparée dégagée de la fusée, les particules subissent une accélération constante g. 

Donc, \[p(t) = m_{f}(t)v(t) + \int (v(t)-u-gt) dm =  m_{f}(t)v(t) + \int_0^t (v(t)-u-gt)adt\] 

\[\frac{dp}{dt} = v\frac{m_{f}}{dt}+ m_{f}\frac{dv}{dt} + a(v(t)-u-gt)\]

\[\frac{dp}{dt} = -av+ m_{f}\frac{dv}{dt} + av-au-agt\]

Or, en considérant tout le système, \(\frac{dp}{dt} = -m_{0}g\), et on retombe bien sur l'équation précédente. Et ça me paraît bien plus rigoureux. Après, je suis peut-être tout simplement incapable de comprendre la démonstration de mon prof. Sans compter que si on considère les frottements, la difficulté est à peu près la même pour la méthode de mon prof, alors que ça se complique drastiquement chez moi :/

A part ça, j'ai maintenant quelques questions sur le DS que j'ai eu  il y a pas mal de choses que je ne comprends pas dans la correction. 

2 - On me demande d'identifier une force de propulsion à partir de \(m(t)\frac{dv}{dt} = au - mg \), force qui est donc au. Cela aurait un sens si m étant constant, et donc si \(m\frac{dv}{dt}\) était le PFD. Mais bon, ici, ça ne représente pas grand-chose. La question ne m'a en soit pas gênée, mais c'est la manière dont on va réutiliser ce résultat plus tard qui me dérange. 

On me demande ensuite pour des calculs de rendements de calculer l'énergie cinétique du gaz émis pendant dt, et d'en déduire la puissance du gaz émis (à ce moment là du DS, on considère qu'on est dans l'espace, donc sans gravité. L'équation est alors la même, il faut juste enlever le mg dans l'équation ci-dessus). La correction est : en considérant v(t) constante pendant dt (alors que m(t) ne l'est pas ), on a \(Ec = 0.5a(v-u)^{2}dt\)

Donc \( P = \frac{dEc}{dt} = 0.5a(v-u)^{2}\)
Je ne comprends pas pourquoi on peut considérer que l'énergie cinétique du gaz émis pendant dt = dEc du gaz. 

On me demande ensuite de calculer la puissance de la force de la poussée sur la fusée, en utilisant... \(P = \vec{F}.\vec{v} = auv\) Il me semble pourtant que la définition fondamentale de la puissance, c'est \(P = \frac{dEc}{dt}\), que \(P = \vec{F}.\vec{v}\) n'est qu'un cas particulier lorsque m est constant.

D'ailleurs, j'ai perdu mon temps pendant le DS à dériver \(1/2mv^{2}\), avec le v déterminé plus tôt, et sauf erreur de calcul, ça ne donne pas du tout le même résultat...

Si on a \(P_{g}\) et \(P_{f}\), on en déduit alors facilement le rendement \(\eta = \frac{P_{f}}{P_{f}+P_{g}}\) , mais bon, j'avoue que je reste assez dubitatif vis-à-vis de la manière donc on a calculé ces puissances... 

Voilà, si vous pouvez m'apporter éclairage :) 

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Edité par gasasaa 1 octobre 2017 à 20:42:44

Désolé, j'ai habituellement horreur de faire des "up", mais vu que j'ai édité un message qui disait initialement que je n'avais rien à dire et que mon post était inutile... c'est juste pour m'assurer que personne n'ait passé le sujet en le pensant clos

Je découvre que tu avais relancé le sujet! 

pour les questions que tu te poses en 2),  .

- supposer que la vitesse est constante pendant que la masse \(dm\) est éjectée revient à négliger "classiquement"  les termes de second ordre pendant  \(dt\),  .
C'est d'ailleurs ce que tu fais toi-même implicitement pour trouver l'équation en 1).,  lorsque tu dis "et des groupes de particules dm = adt à la vitesse par rapport au référentiel terrestre (v-u). " 

 le v c'est v(t) ou v(t+dt )?    C'est ce que on est amené à faire, quelle que soit la méthode , y compris celle du prof.

Partant de là, il me semble que l'énergie cinétique de dm dans les référentiel terrestre, soit \(\frac{1}{2}a(v-u)^2 dt\) est évidente et je ne suis pas sûr de comprendre  ce que tu veux dire avec cette phrase:"Je ne comprends pas pourquoi on peut considérer que l'énergie cinétique du gaz émis pendant dt = dEc du gaz." 

le gaz un fois émis, l'énergie cinétique du gaz reste constante puisque , si j'ai compris , on suppose ici que on est hors champ de gravitation donc  de toutes forces extérieures , donc une fois éjecté, le gaz garde une vitesse constante . Le seul contributeur à la variation d'énergie cinétique du gaz éjecté est bien celle  acquise par les quantités \(dm\) éjectées à chaque instant. 

Pour \(P=\vec{F}.\vec{v}\) , c'est une grandeur instantannée , relation générale valable dans tous les cas , il me semble. Si la masse varie, cela va intervenir si on intégre pour calculer le travail de la force.

 Ici , tel que je le vois , on aurait \(W=\int \vec{F}.\vec{v}dt =\int auv dt=u\int vdm\) et \(v\) est une fonction de \(m\) obtenue par la résolution de l'équation différentielle de la première question.

Pour revenir à la question de départ, je trouve que ce que tu fais revient plus ou moins au même mais je trouve plus  clair  le raisonnement du prof ( ...qui était un peu le mien !) question personnelle de voir les choses, je suppose.Et  je ne vois pas ce qu'il y a de pas rigoureux de dire que, je résume:

1. appliqué au système fusée +gaz on a \(P(t+dt)-P(t)= mgdt \), le membre de gauche étant la variation de quantité de mouvement de l'ensemble

2. cette variation se décompose en celle de la fusée \(p_f(t+dt)-p_f(t)==m(t+dt)v(t+dt)-m(t)v(t)\),pour  celle de la masse de gaz éjectée on trouve \(p_g=-a(v-u)dt\) 

3- par conservation de la masse , on a \(m(t+dt)=m(t)+adt\). 
Et en combinant tout cela, on tombe sur le résultat.  

remarque:

suite à tes nouvelles questions,j'ai fait quelques recherches et  des extraits que tu donnes de ton DS, je pense qu'il est fortement inspriré  de Physique 1 MP du concours Mines_Ponts 2015 , première partie. 

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Edité par Sennacherib 7 octobre 2017 à 14:09:50

"supposer que la vitesse est constante pendant que la masse dmdm est éjectée revient à négliger "classiquement"  les termes de second ordre pendant  dtdt. C'est d'ailleurs ce que tu fais toi-même implicitement pour trouver l'équation en 1).,  lorsque tu dis "et des groupes de particules dm = adt à la vitesse par rapport au référentiel terrestre (v-u). le v c'est v(t) ou v(t+dt )?  :-°  C'est ce que on est amené à faire, quelle que soit la méthode , y compris celle du prof."

Donc, si je te suis bien, on calcule une valeur moyenne entre ces deux vitesses, et on arrive au fait que, en négligeant les termes différentiels d'ordre 2, c'est équivalent à considérer la vitesse constante ?

"Partant de là, il me semble que l'énergie cinétique de dm dans les référentiel terrestre, soit 1/2a(v−u)^2dt est évidente et je ne suis pas sûr de comprendre  ce que tu veux dire avec cette phrase:"Je ne comprends pas pourquoi on peut considérer que l'énergie cinétique du gaz émis pendant dt = dEc du gaz. ""

Je vais essayer de réexpliquer un peu mieux cette mystérieuse phrase L'énergie de dm est \(\frac{1}{2}a(v-u)^{2}dt\) ça ne me dérangeait pas, et encore moins depuis ton explication précédente. Mais comment en déduire que \(P=\frac{dE_{c}}{dt} = \frac{1}{2}a(v-u)^{2}\)

Cela revient à écrire \(E_{c, dm} = dE_{c,gaz}\), et c'est ça que je ne comprenais pas il y a deux jours en écrivant ce post. Mais, maintenant que j'y réfléchis, c'est en fait assez logique. 

Pour le travail d'une force, la démo que j'avais vu était la suivante (en considérant m constante) :
\(E_{c} = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}m\vec{v}. \vec{v}\). En admettant que la dérivée d'un produit scalaire se comporte comme la dérivée d'un produit, ce qu'on avait admis) :
\[\frac{dE_{c}}{dt}=m\vec{v}.\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{v}.\vec{F}\]
en utilisant le PFD

Si j'essaie d'étendre cette démonstration au cas où m n'est pas une constante, j'aurais :
\[\frac{dE_{c}}{dt} = m\vec{v}.\frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm}{dt}v^{2}\], et on constate donc l'apparition d'un deuxième terme qui vient foutre en l'air la formule du cas précédent. Parce qu'on peut remplacer \(m\frac{d\vec{v}}{dt} \) par \(au\), d'après l'équation trouvée, mais le \(\frac{dm}{dt}v^{2}\) vient quand même compliquer la formule. 

On aurait plutôt \(P = auv - av^{2}\)

EDIT : Sinon, pour l'autre méthode, je ne comprends pas, c'est qu'à priori, si tu considères le système fusée + gaz, 

\(p(t+dt)-p(t) = (p_{f}(t+dt)-p_{f}(t))+p_{gaz}(t+dt)-p_{gaz}(t)\)

J'imagine que tu considère que \(p_{gaz}(t)\) = 0, que tout le gaz à l'instant t est contenu dans la fusée, mais dans ce cas, pourquoi peut-on considérer le système comme fermé (puisque le nombre de particules de ton système n'est pas le même à tout instant t). 

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Edité par gasasaa 9 octobre 2017 à 14:10:39

C'est un long up, mais j'aimerais bien avoir une réponse à ma deuxième question, sur le calcul de la puissance des forces et le calcul de rendement 

Parce que, comme j'en ai remis la démo, le calcul de force \(P = \vec{F}.\vec{v}\) me paraît faux pour un système de masse non constante. A défaut de me donner la solution, une confirmation que le corrigé qu'on m'a donné est faux sera déjà sympathique

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Edité par gasasaa 26 février 2018 à 21:04:24