Bonjour,

J'ai une narration de recherche a faire, j'ai trouvé une idée mais...
BREF

Voici le problème:
Un nombre entier est tel qu'en lui ajoutant 29 ou en lui soustrayant 60, on obtient un carré...

• Quel est ce nombre ?
• Y-en-a-t-il d'autres ? (La il faut prouvé que le nombre trouvé est le seul enfaite...)

Voila sur quoi je suis partit:
Un nombre entier est tel qu'en lui ajoutant 29 ou en lui soustrayant 60, on obtient un carré
x + 29 = y²
OU
x - 60 = y²

Maintenant que j'obtiens une équation de second degré un peu bizarre, j'aimerais savoir si il n'y a pas moyen de regroupé ces deux équations en une ou comment les résoudres...
Bref

Je vous remercie d'avance

ChickN

Si l'on doit trouver un tel x il me semble qu'il est préférable d'écrire le système:
x + 29 = y²
et
x - 60 = z²
ensuite tu trouves assez facilement que: y² - z² = (y - z)*(y + z) = 89, et on cherche ensuite a factoriser 89.

EDIT: Qu'est-ce qu'une narration de recherche? Tu racontes ton périple dans la résolution du problème?

Ouahh ca va un peu vite tu peut dévellopper stp
La j'ai compris qu'il fallait pas mettre deux fois y² et que apres ca débouchait sur une autre equation et c sa que je ne comprend pas...

Si on ajoute 29, on a un carré: x + 29 = y²
ET si on enlève 60 on a un carré (pas forcément le même): x - 60 = z²
Donc x = y² - 29 et x = z² + 60.
Donc y² - 29 = z² + 60
Donc y² - z² = 89
Nos bonnes vieilles identités remarquables nous donnent:
(y - z)*(y + z) = 89
Or il existe un nombre fini de diviseurs de 89, soit a et b tel que a * b = 89, tu dois trouver y et z tel que y + z = a ET y - z = b ou le contraire.
De y ou de z tu peux remonter à x ( x = z² + 60 ).
Voilà pour la question 1.

Donc pour la question deux je dois prouver que 89 est le seul en le factorisant ?

Les inconnues sont y et z, on doit donc trouver toutes les solutions possibles pour les systèmes qu'ils vérifient. La solutions n'est pas forcément unique, ce sera vérifié a posteriori si elle l'est.
89 est premier, donc:
(a, b) € { (1, 89), (-1, -89) }
soit:
y - z = 1 ET y + z = 89
OU
y + z = 1 ET y - z = 89
OU
y - z = -1 ET y + z = -89
OU
y + z = -1 ET y - z = -89

Je te laisse le soin de résoudre ces systèmes, tu devrais trouver au plus 4 solutions.

Tu sais je suis qu'en 3eme...
Je ne comprend pas les systeme...

Bonjour,
En reprenant ce que dit Sir skippy, la factorisation de 89 est vite faite puisque c'est un nombre premier.
89 pemier et (y+z)(y-z) = 89 c'est facile à résoudre.
PS aprés avoir lu de nouveaux messagex , je pense que si on cherche la solutuion en entiers naturels et sans parler "système d'équations " on doit avoir simplement y+z=89 et la solution unique est y=45, z=44

Oups...
Voyons voir, quand on prend le système (bien grand mot pour pas grand chose, faut pas prendre peur):
/ y - z = 1
\ y + z = 89
Ca signifie juste que ces deux équations sont justes, la somme de ces deux équations reste donc une équation correcte.
Soit: (y - z) + (y + z) = 1 + 89 donc 2 * y = 90
De même la différence des deux équations si dessus forme une équation juste:
Soit: (y - z) - (y + z) = 1 - 89 donc 2 * ( -z ) = -88

Une autre façon équivalente de prendre le problème est:
si y - z = 1 alors y = 1 + z
donc si on remplace dans ( y + z = 89 ) y par son expression qu'on vient d'obtenir, on trouve : 1 + z + z = 89 et y = 1 + z.
System solved.
Voilà la démarche à suivre pour le premier système. C'est la même recette pour les autres systèmes.

Et sinon c'est quoi une narration de recherche ?

Merci d'essayer de m'aider...
Non pas que je critique ta façon de me proposé la chose (c'est très complet et tout) mais c'est moi : JE NE COMPRENDS RIEN.

Peux-tu me préciser où tu décroches? Quelle sont les questions que tu poses parmi celles-ci?
1 - Pourquoi le OU de l'énoncé s'est mystérieusement transformé en ET
2 - Pourquoi z ?
3 - J'ai une relation avec y et z, mais où est passé x?
4 - Qu'est-ce que 89 vient faire là?
5 - Qu'est-ce que a et b viennent faire là?
6 - Clairement c'est quoi un système?
7 - Pourquoi on a ces 4 systèmes?
8 - Comment faire pour résoudre ces systèmes?

1,
2- Je pense que c'est une lettre comme y...
3,
4- 29 + 60 ?
5,
6,7,8 (j'ai rien compris au système)

1 - Tout d'abord du français:

Citation : Problème

Un nombre entier est tel qu'en lui ajoutant 29 ou en lui soustrayant 60, on obtient un carré...

Donc un nombre entier x est tel que [ x ( + 29 ou - 60 ) = y² ] N'écris jamais ça à un prof de maths... En effet cette expression tu en conviendra n'a aucun sens.
Le "ou" du problème n'est pas un "et" en français:
Un nombre entier est tel qu'en lui ajoutant 29 et en lui soustrayant 60, on obtient un carré.
Car en français cela suggère l'enchaînement des actions, je prends x, j'ajoute 29, j'enlève 60, j'ai un carré, trouver x. Pas facile hein?
Mais mathématiquement, ce ou est un ET. On a deux alternatives: je prends x si je lui ajoute 29 alors je trouve un carré, ET, depuis ce même x, si j'enlève 60 alors je trouve un autre carré. Tel est comment il faut comprendre l'énoncé.

2 - La première étape est donc de transcrire cet énoncé en deux équations pour résoudre ce problème mathématiquement:
je prends x si je lui ajoute 29 alors je trouve un carré <=> x + 29 = y² ( noté (1) ) avec y un entier
ET
depuis ce même x, si j'enlève 60 alors je trouve un autre carré (d'où z, une autre inconnues à part entière, de la même manière que y) <=> x - 60 = z² ( noté (2) ) avec z un entier
Ces équations sont toujours vraies, vu que c'est l'énoncé.
On cherche x, mais on peux se rendre compte que si on trouve y ou z, on en déduit immédiatement x avec ces équations.
Donc on va plutôt s'efforcer de trouver tout les y et les z possibles, on en déduira x ensuite.

3 - On a donc aussi: x = y² - 29 ( via (1) ) et x = z² + 60 ( via (2) ). Or x=x ( ) donc y² - 29 = z² + 60 ( notée (3) )
x n'apparait plus dans (3), mais si on trouve y ou z, on retrouve x via (1) ou (2).

Donc ensuite: 4 -
y² - z² = 89

5 - Donc mes bonnes vieilles identités remarquables (et tes nouvelles identités remarquables sûrement ^^) nous disent:
y² - z² = (y - z) * (y + z) [ donc = 89 ]
Or il se trouve que, y et z étant entiers, y - z et y + z le sont aussi.
Or on sait qu'il n'existe pas 36 façons d'écrire 89 comme le produit de deux entiers, en effet 89 étant premier:
89 se décompose comme ceci, et seulement comme ceci: 89 = 1 * 89 ou 89 = (-1) * (-89)
Or on sait que (y - z) * (y + z) = 89 donc nécessairement il existe seulement quatre possibilités pour écrire (y - z) et (y + z):

Soit [(y - z) = 1 ET (y + z) = 89] (noté (alpha) )
Soit [(y - z) = 89 ET (y + z) = 1] (noté (béta) )
Soit [(y - z) = -1 ET (y + z) = -89] (noté (gamma) )
Soit [(y - z) = -89 ET (y + z) = -1] (noté (delta) )

( Remarque: j'ai arrêté de compter )
( NB : "Soit" <=> OU ; les quatre alternatives sont possibles )
Ce qu'il y a entre crochet est appelé un système d'équation, en gros t'a juste deux équations qui doivent être vérifiées simultanément.
Pour le système (alpha), on doit avoir à la fois: (y - z = 1) ET (y + z = 89). Ce qui est parfaitement équivalent à:
(y = z + 1) ET (y + z = 89), Donc aussi à: (y = z + 1) ET (z + 1 + z = 89)
[ Vu que les deux conditions doivent être vérifiées toutes les deux simultanément, on peut remplacer y dans y + z = 89 par son expression: y = z + 1, on obtient ainsi (y = z + 1) ET ( 2 * z = 88) => (y = z + 1) ET (z = 44), pour la même raison que précedemment, on trouve: (y = 44 + 1) ET (z = 44) ]
Dès lors, quand on a trouvé les expressions de y et z on dit que "le système (alpha) de deux équations et deux inconnues en y et z admet pour unique solution le couple (y = 45, z = 44)" (ce qui n'est que du baratin, le tout est d'avoir la solution).
Voilà comment traiter le système (alpha), de même que cela, tu peux résoudre les systèmes (béta), (gamma) et (delta), tu trouveras sûrement d'autres solutions pour y et z, dès lors, via (1) ou (2), tu pourras retrouver tout les x possibles.
Tu vérifie ensuite que tu t'es pas trompé (pour chaque x, as-tu bien x + 29 et x - 60 des carrés?)

Ouf...
J'espère avoir été le plus clair possible.

Pensée: Je vais peut-être me lancé dans un petit tuto sur les systèmes d'équations linéaires, c'est plutôt essentiel comme notion. Quoique le big-tuto abordera bien ce point quand il arrivera au chapitre 3ème des maths... Bon si tu comprends ce que je t'ai expliqué, pourquoi pas.

Autre: Qu'est-ce qu'une narration de recherche?

Merci pour cette longue description je crois que j'ai compris... ("Hallelujah")

Une narration de recherche est un devoir que ta/ton prof te donne: un sujet débile (comme celui ci ou celui la ou encore celui la )

Ensuite tu dois blablater dessus sur 2 pages doubles tu dois tous mettre: a chaque fois que tu trouves un truc, l'heure a laquelle tu as commencé de chercher... même tu dois dire si tu fait une pose pour aller au toilette
Enfaite c'est une rédaction de ta vie et du sujet qu'il/elle t'a donné(e)

Merci et bonne continuation...

ChickN