Essaie comme ça :

divLAPI.onmouseover=function(){ // Au survol du conteneur
		if(enPause) {
			clearTimeout(timerLAPI); // On stoppe le défilement
		}
	};
	divLAPI.onmouseout=function(){ // A la fin du survol
		if(enPause){
			clearTimeout(timerLAPI);
			timerLAPI = setTimeout(function() {
			  defileLAPI();
			  enPause = false;
			},tps_pause);
		}
	};

Et

for(var iLAPI=0,lLAPI=spansLAPI.length;iLAPI<lLAPI;iLAPI++){
		if(parseInt(spansLAPI[iLAPI].style.top,10)== Math.round(h_arret/pasLAPI)*pasLAPI){
			clearTimeout(timerLAPI);
			enPause = true;
			timerLAPI = setTimeout(function() {
			  defileLAPI();
			  enPause = false;
			},tps_pause);
		}
	}

Citation : Golmote

Et

for(var iLAPI=0,lLAPI=spansLAPI.length;iLAPI<lLAPI;iLAPI++){
		if(parseInt(spansLAPI[iLAPI].style.top,10)== Math.round(h_arret/pasLAPI)*pasLAPI){
			clearTimeout(timerLAPI);
			enPause = true;
			timerLAPI = setTimeout(function() {
			  defileLAPI();
			  enPause = false;
			},tps_pause);
		}
	}

Cette modif n'en est pas vraiment une car c'est le code déja présent... A moins que t'as voulu mettre autre chose?
Sinon, j'ai modifié le reste du code que tu m'as donné et c'est presque çà hormis que maintenant, le onmouseover se déclenche après le temps de pause du message. Donc en faite, même si mon message est survolé, le message apparait, il fait une pause de "tps_pause" et c'est après ce tps_pause que la fonction dans le onmouseover démarre du coup, le temps que cette fonction démarre, il y a une demi seconde qui passe et le texte défile pendant une demi seconde avant de se mettre en pause. Le mieux pour comprendre est d'aller avoir la démo avec le lien que je t passé précédemment.

En effet, j'ai buggué sur le deuxième code. Je l'ai beaucoup modifié, mais je suis finalement revenu à celui de départ sans m'en rendre compte

Par contre, tu as mal dû recopier les premières modifications...
C'est if(enpause) sans le "!"

Aaaaaah sa fonctionne.
Je vais paraitre casse c***** mais le top du top est de mettre en pause le défilement au survol que lorsque le message est affiché complètement.
Dans le cas actuelle, si le message n'est pas complètement apparu mais que je le survol alors il y aura bien la pause mais on ne verra que une motié du message et ensuite au onmouseout, le message est affiché complètement et fait une 2ème pause, donc on a 2 pause pour un même message.

Pour éviter cela, faudrait que que la pause lors du onmouseover ne se fasse uniquement que lorsque le message est complètement apparu... Sans doute en vérifiant que la position absolue du message = h_arret ? peut-être? Et dans ce cas la fonction du onmouseover peut s'éxécuter sinon on continu le défilement et on met la pause uniquement lorsqu'on arrive à h_arret

Mise à jour de la page de test... ?

Page de test mise à jour.

Arf, j'ai trouvé... il y a un "P" majuscule à enPause (à la ligne 7 du code que tu as cité précédemment).

Je pense que c'est dû à ça