Bon alors voilà, je suis en terminale s spe maths, et j'ai du mal a trouver ici des trucs qui sont abordables pour moi et qui sont pas trop compliquées ou qui sont pas des questions qui ne me posent pas de problèmes. Je voudrais donc savoir si quelqu'un (et vous avez l'air de vous y connaitre) pourrait parler de trucs un peu marrant, ou interressants, qui sont hors programme, mais qu'on pourrait comprendre globalement plus ou moins intuitivement.
Voilà, je cherche en quelque sorte une petite initiation aux concepts un peu plus theoriques pour prolonger un peu ce qu'on fait en cours...
Je me rend bien compte que c'est pas très précis, mais comme je voudrais apprendre ce que je ne sais pas, je peux pas vous dire ce que c'est... (par exemple la question autour de 0,99999...=1, mais pas ça, puisque je connais déjà)

Peut-être que ceci te plaira : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_anniversaires

Quelques problèmes pour réviser ton programme:

• le problème de Monty Hall, qui a créé un sacré remugle lors de sa parution ;
• Le problème d'Euler :
  Un jour, dans une auberge, s'arrêtent plusieurs diligences.
  
  Des hommes, mais aussi des femmes, en moindre nombre, mais tout autant affamées s'attablent.
  
  Il est convenu à l'issue du repas que les hommes paieront chacun 19 sous et les femmes 13 sous chacune. L'aubergiste récolte ainsi exactement 1000 sous.
  
  Combien d'hommes et de femmes sont descendus ce soir-là à l'auberge ?
• Tout ce qui concerne la cryptologie, par exemple le système rsa.

Sinon, hors programme, tout ce qui touche à l'infini : les paradoxes de Zénon, la dénombrabilité de N,Z,Q mais pas de R, l'hôtel de Hilbert.

Voilà pour moi.

EDIT: Ajout de liens.

(Pour le problème d'Euler, je pense qu'il faut se tourner vers les équations diophantiennes que tu vois en spé Maths normalement.)

Effectivement. Et pour Monty Hall, les probabilités conditionnelles (c'est une méthode parmi d''autres), et enfin pour RSA, les congruences.

Citation : melepe

Un jour, dans une auberge, s'arrêtent plusieurs diligences.

Des hommes, mais aussi des femmes, en moindre nombre, mais tout autant affamées s'attablent.

Il est convenu à l'issue du repas que les hommes paieront chacun 19 sous et les femmes 13 sous chacune. L'aubergiste récolte ainsi exactement 1000 sous.

Combien d'hommes et de femmes sont descendus ce soir-là à l'auberge ?

ph,pf,p,=19,13,1000
for h in range(0, p/ph+1):
    for f in range(0, p/pf+1):
        if h>f and ph*h+pf*f==p:
            print h,f

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Petite question au sujet de l'exo avec l'auberge. J'ai posé x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes et j'en déduis : 19x + 13y = 1000. Quelles sont vos astuces pour trouver une solution particulière rapidement ? Parce que pour moi, il y a de quoi se casser la tête longtemps là-dessus (en fait, on n'a jamais manipulé des nombres aussi gros dans ce type d'exos en spé maths). Merci.

Citation : Etienne-02

Petite question au sujet de l'exo avec l'auberge. J'ai posé x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes et j'en déduis : 19x + 13y = 1000. Quelles sont vos astuces pour trouver une solution particulière rapidement ?

Aucune astuce : (-2)*19+3*13=1 donc en multipliant par 1000 tu obtiens une solution particulière. Tu en déduis alors la solution générale et pour conclure tu exprimes que tu cherches des solutions positives, ce qui va contraindre drastiquement l'unique paramètre dont dépendent tes solutions.

Citation : candide

Citation : Etienne-02

Petite question au sujet de l'exo avec l'auberge. J'ai posé x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes et j'en déduis : 19x + 13y = 1000. Quelles sont vos astuces pour trouver une solution particulière rapidement ?

Aucune astuce : (-2)*19+3*13=1 donc en multipliant par 1000 tu obtiens une solution particulière. Tu en déduis alors la solution générale et pour conclure tu exprimes que tu cherches des solutions positives, ce qui va contraindre drastiquement l'unique paramètre dont dépendent tes solutions.

Pas d'astuce, pas d'astuce... c'est pas vraiment une "astuce", mais tu peux quand même effectuer la division euclidienne de 19 par 13 pour trouver une solution particulière pour <math>\(19x+13y = 1\)</math>.

Citation : Cyprien_

<citation rid="5871767">
Pas d'astuce, pas d'astuce... c'est pas vraiment une "astuce", mais tu peux quand même effectuer la division euclidienne de 19 par 13 pour trouver une solution particulière pour <math>\(19x+13y = 1\)</math>.

C'est sûr et tu peux aussi calculer <math>\(\Delta\)</math> pour résoudre l'équation <math>\(x^2=0\)</math>

C'était pas toi qui parlais de solution opportuniste sur un autre sujet ?

Citation : Cyprien_

C'était pas toi qui parlais de solution opportuniste sur un autre sujet ?

En réalité, ce qu'il faut dire au PO, c'est que pour trouver la solution générale, il faut d'abord trouver une solution particulière de <math>\(ax+by=1\)</math>. Ensuite, pour obtenir une solution de <math>\(ax+by=m\)</math>, on multiplie par m. Dans la pratique et dans de nombreux exemples, l'obtention d'une solution particulière est assez simple et s'obtient par un simple examen visuel, il suffit de chercher deux multiples de a et b qui diffèrent d'une unité. On applique l'algorithme d'Euclide étendu que si vraiment on ne trouve pas de façon immédiate.

L'algorithme d'Euclide étendu, c'est bien pour la recherche des coefficients de Bezout?
Si c'est ça personnellement, c'est la méthode que j'utilise tout le temps, parce qu'elle marche a tout les coups et que j'ai programmé l'algorithme sur ma calculette...
Sinon ce problème en particulier, c'est juste une équation diophantienne a résoudre, c'est plus simple que la majorité des exos de spe.. Mais j'ai pas encore regarde le reste, en tout cas merci beaucoup... (je vais attendre pour le truc sur les probabilités car on l'a pas encore bien vu)

walla, moi aussi je suis en terminale S spé maths, et j'ai trouvé un truc qui devrait t'intéresser sur l'exponentielle, les fonctions trigos et les complexes.

***

Un soir, j'étais en train d'essayer de dormir, quand une phrase de mon prof de maths retentit dans ma tête sans que je n'y prenne garde : "A votre niveau, on peut pas faire le logarithme d'un nombre négatif... "

Et là, illumination ! Le célèbre <math>\(e^{i\pi} = -1\)</math> d'Euler revint à ma mémoire, ce qui signifierait que <math>\(\ln(-1) = i\pi\)</math> !

Mais là encore, je me souvins d'une phrase de mon prof : "La notation exponentielle d'un complexe n'est pas vraiment la fonction exponentielle."

Loin d'être découragé, je me demandai si ce n'était pas une manipulation de l'enseignement pour ne pas affoler les pauvres éleves. J'entrepris donc de calculer la dérivée de <math>\(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\)</math> en fonction de <math>\(\theta\)</math>.

<math>\(\begin{array}{lcl} r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))' & = & r((\cos(\theta))' + (i\sin(\theta))') \\ & = & r(-\sin(\theta) + i\cos(\theta)) \\ & = & r(i^2 \times \sin(\theta) + i \times \cos(\theta)) \\ & = & ri(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \\ f'(x) = if(x) \end{array}\)</math>

Or, la résolution de l'équation différentielle <math>\(y' = iy\)</math> et <math>\(y(0) = r\)</math> (C'est le cas, hein ) donne <math>\(f(x) = re^{ix}\)</math> ! Ce qui voudrait dire que le logarithme d'un nombre négatif existe ! Mieux ! Le logarithme d'un nombre complexe existe !! Encore mieux !! Il en existe une infinité, tous à <math>\(2ki\pi\)</math> près !!!

A ce moment, je me suis mis à bander être très content, et j'ai pu déterminer le logarithme d'un nombre dans <math>\(\mathbb{C}\)</math> :

<math>\(\ln(z) = \ln(|z|) + i\arg(z)\)</math>

Le lendemain, mon prof m'a donné confirmation, en m'expliquant à quel point les fonctions exponentielle, cosinus et sinus étaient proches.

***

Voilà, en espérant que ça t'a intéressé.

***

EDIT : Merci à colbseton pour sa précision, je m'était emporté dans mon élan. Bref, c'est corrigé.

<math>\(f(z) = r(\cos z + i\sin z) = r\cos z + i\times r\sin z\)</math>
<math>\(f'(z) = -r\sin z + i \times r\cos z\)</math>
<math>\(= i^2r\sin z + i \times r\cos z\)</math>
<math>\(= ri(\cos z + i \sin z) = if(z)\)</math>

On a donc la relation <math>\(f'(z) = if(z)\)</math> (et pas f' = f)

En effet, au temps pour moi, c'est corrigé.

@Jan95 Il faudrait écrire plus rigoureusement les choses : tu dis qu'il y a une infinités de logarithmes, puis tu parles du logarithme. Par exemple, ta formule pour un logarithme n'a pas de sens ; il faudrait écrire <math>\(Arg(z)\)</math> (argument principal, réel de <math>\([-\pi,\pi])\)</math> au lieu de <math>\(arg(z)\)</math> pour avoir quelque chose qui a du sens. Sinon, ta relation aboutit à l'égalité entre deux nombres complexes différents.

Mais, de toute façon tu ne peux pas prétendre que le logarithme complexe existe sous prétexte que l'exponentielle complexe existe, c'est un peu trop simple.
L'exponentielle complexe <math>\(f : \mathbb{R}\mapsto \mathbb{C}\)</math> est surjective, donc on peut simplement trouver une fonction "réciproque partielle" <math>\(g\)</math> telle que <math>\(f \circ g = id\)</math>, néanmoins, on aura <math>\(g \circ f \neq id\)</math> (à cause du fait que <math>\(f\)</math> soit surjective).

On aurait donc un logarithme complexe qui associe plusieurs images à une abscisse, et ça, ça n'est pas une fonction.

Moi je suis comme Jan95 (j'ai fait les mêmes calculs ), ma prof de maths n'arrête pas de dire que l'exponentielle complexe, c'est qu'une notation, ce qui me choque un peu. Enfin c'est juste que c'est admis dans le programme et donc il ne faut pas embrouiller les élèves...

Oui, vous avez raison, le logarithme complexe est loin d'être une fonction. Mon prof m'a dit que, pour simplifier les choses, on utilisait uniquement l'argument principal, comme l'a dit programLyrique, pour avoir une image unique, mais bon je trouve quand même ça fun.

Effectivement, c'est pas mal ton truc, ça donne une bonne perception de la chose, mais ce n'est pas vraiment une démonstration puIsque tu utilises plein de choses admises en terminale ( notamment la résolution des équations différentielles) en plus je ne savais pas que la dérivation dans C se faisait comme dans R (on s'en doute, mais personne ne me la dit). Ceci dit, je n'y avait pas pense, et c'est vrai que ça a l'air de bien marcher, c'est cool.
Si tu veux un truc qui lie exp, ln, sin, et cos, tu peux essayer pour te rendre compte de tracer la courbe de Im(exp(itheta)) en fonction de Re(exp(itheta)), je te laisse découvrir le resultat
Tu peux aussi tester avec Re(exp(itheta)) en fonction de thêta et Im(exp(itheta)) en fonction de thêta

Que Re(exp(ithêta)) et Im(exp(ithêta)) soient respectivement égaux à cos(thêta) et sin(thêta) est tout sauf une surprise puisque c'est la définition de exp(ithêta)...

C'est surtout la définition de <math>\(\cos\theta\)</math> et <math>\(\sin\theta\)</math> !

C'est pas faux mais il faut en connaître un peu plus sur l'exponentielle que ce qu'on en sait en TS pour pouvoir le dire.

En fait, mon prof m'a expliqué que
<math>\(e^x = \lim_{n \to +\infty} 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots + \frac{x^n}{n!}\)</math>
et que
<math>\(\cos(x) = \lim_{n \to +\infty} 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\)</math>
<math>\(\sin(x) = \lim_{n \to +\infty} x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)</math>

Ainsi, on obtient :
<math>\(\begin{array}{lcl} e^{i\theta} & = & \lim_{n \to +\infty} 1 + i\theta + \frac{i^2\theta^2}{2!} + \frac{i^3\theta^3}{3!} + \ldots + \frac{i^n\theta^n}{n!} \\ & = & \lim_{n \to +\infty} 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \ldots + \frac{i^n\theta^n}{n!} \\ & & \text{...Je suis faineant...}\\ & = & \cos(\theta) + i\sin(\theta)\\ \end{array}\)</math>

Enfin, ça, c'est plus vraiment niveau terminale.

Oui c'est exactement à quoi je pensais dans mon dernier post.
Avec la définition suivante de l'exponentielle : <math>\(\exp(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\)</math>, on peut retrouver les fonctions cosinus et sinus hyperboliques en prenant la partie paire et impaire. Puis, en évaluant la définition en ix, on retrouve les fonctions cosinus et sinus en prenant la partie réelle et imaginaire.

Citation : Quinze

Puis, en évaluant la définition en ix, on retrouve les fonctions cosinus et sinus en prenant la partie réelle et imaginaire.

Je dirais même que c'est LA définition rigoureuse des fonctions sinus ou cosinus.

Bon alors voila, je me réponds, parce que j'ai trouvé des cours très interressants, niveau compréhensibles normalement dès la première mais surtout pour la terminale, avec des trucs hors programme (ou du moins à la limite du programme). Les cours sont compliqués, ils approfondissent beaucoup mais ne requièrent pas de connaissances particulières
Je laisse le lien si ca intéresse quelqu'un
http://www.animath.fr/spip.php?rubrique10