Si on prend une nombre réels au hasard il y a une probabilité de 0 qu'il soit entre 0 et 1, pouvez vous me le prouver ? Sinon quel est la probabilité de tirer un nombre entre 0 et 1 parmi les réels ?

J'ai posé la question sur quora mais une des réponses est qu'on ne peut pas calculer car ce n'est pas demontrable. J'ai vu qu'il existait des fonctions de densité de probabilité, j'avais vu ca mais je m'en souviens plus beaucoup, Peut-on s'en servir pour trouver la probabilité ? Ou avec un raisonnement par l'absurde peut-être ?

La densité pourrait a priori servir. Sauf que.

Je crois que le problème de départ est mal posé. L'événement « tirer au sort un nombre réel entre 0 et 1 au hasard » est-il bien un événement (sur qui peut s'appliquer une probabilité) ? Il faudrait peut-être expliquer « au hasard ». De façon équiprobable ? C'est impossible.

En effet, si c'était équiprobable, la densité serait une fonction constante, or il n'existe pas de fonction constante intégrable sur les réels dont l'intégrale fait 1 (la seule fonction constante intégrable sur les réels est la fonction nulle, et son intégrale fait 0 ; les autres fonctions constantes ne sont pas intégrables ; ainsi aucune fonction constante n'est une densité).

Donc :

− La probabilité de tirer au sort, de façon équiprobable, un nombre réel entre 0 et 1 n'existe pas car cet événement n'est pas un événement probabiliste.

− Ou alors c'est qu'on tire au sort d'une autre façon (non équiprobable). À toi de préciser.

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Par exemple si on tire au sort un nombre réel positif selon la densité \( f(x) = \dfrac{2}{\pi(1+x^2)} \), qui est bien une densité , la probabilité que ce nombre soit entre 0 et 1 est de 1/2 (sauf erreur de calcul).

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Edité par robun 23 avril 2023 à 21:22:13

Donc ce raisonnement est faux ?:

Démonstration par l'absurde de la probabilité nulle de…: supposons que la probabilité de tomber sur l'intervalle réel [0;1] en tirant un réel au hasard soit non nulle, posons cette probabilité p, on peut placer une infinité d'intervalle de longueur 1 et donc de probabilité p de tomber dessus comme pour l'intervalle [0;1], p étant constant en sommant une infinité de fois la probabilité p on obtient une probabilité infini de tomber sur un réel,c'est absurde donc la probabilité de tomber sur l'intervalle [0;1] est nulle

Et cette vidéo est fausse ?

https://youtu.be/3PK2Wm7_HSI

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Edité par MélodiePaysans 25 avril 2023 à 15:26:04

MélodiePaysans a écrit:

Donc ce raisonnement est faux ?:

Démonstration par l'absurde de la probabilité nulle de…: supposons que la probabilité de tomber sur l'intervalle réel [0;1] en tirant un réel au hasard soit non nulle, posons cette probabilité p, on peut placer une infinité d'intervalle de longueur 1 et donc de probabilité p de tomber dessus comme pour l'intervalle [0;1], p étant constant en sommant une infinité de fois la probabilité p on obtient une probabilité infini de tomber sur un réel,c'est absurde donc la probabilité de tomber sur l'intervalle [0;1] est nulle

Si tu as compris mon message (et si j'ai raison), c'est la conclusion qui est fausse, le « donc » final.

La conclusion d'un raisonnement par l'absurde, c'est que l'hypothèse de départ est fausse. Ici, il y a deux hypothèses de départ :

− La probabilité de tirer au hasard de façon équiprobable un nombre entre 0 et 1 existe.

− Et elle est > 0.

Ce raisonnement permet de prouver que l'une de ces deux hypothèses (ou les deux) est fausse. Pas forcément la deuxième. D'ailleurs, dans mon message précédent, j'ai montré pourquoi la première hypothèse est fausse (et du coup la deuxième n'a pas de sens).

Et, encore une fois, il faut être précis : « tirer au sort un nombre entre 0 et 1 » ne veut rien dire. Ce raisonnement suppose un tirage équiprobable puisqu'il additionne toutes les probabilités d'être dans un intervalle de longueur 1. Aussi j'ai ajouté cette précision.

La vidéo dure plus de dix minutes. À quel endroit je dois regarder ?

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Edité par robun 25 avril 2023 à 20:36:38

Ah, c'est intéressant, ça ! En fait ça ne parle pas de probabilités et je soupçonne que la phrase comme quoi si on tire un nombre réel au hasard, la probabilité qu'il soit algébrique est nulle, est surtout une façon de dire qu'il y a infiniment plus de nombres transcendants que de nombres algébriques.

Mais on peut définir une probabilité sur un intervalle. Par exemple plaçons-nous sur l'intervalle [a, b]. Soit E un sous-ensemble de cet intervalle (exemple : les nombres algébriques entre a et b). On note \( P(E) = \dfrac{1}{b-a} \int_E dx \) : c'est bien une probabilité (elle est comprise entre 0 et 1). Eh bien dans la théorie moderne de l'intégration (qui est à la base de la théorie moderne des probabilités), c'est-à-dire l'intégrale de Lebesgue, si E est l'ensemble des nombres algébriques entre a et b, il me semble que son intégrale existe et vaut zéro (*) (alors que l'intégrale de Riemann n'existe pas dans ce cas, il me semble). Aussi, la probabilité de tirer au hasard un nombre algébrique est nulle. Et c'est vrai dans n'importe quel intervalle. (Par contre je ne vois pas comment définir une probabilité avec l'ensemble des réels.)

Je ne sais pas si vidéo fait allusion à ça. Peut-être, mais elle ne détaille pas.

(En tout cas la vidéo a l'air intéressante. Merci pour le lien ! )

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(*) Finalement j'ai un doute. Je sais que c'est vrai pour les nombres rationnels, mais je ne crois pas que ça le soit pour les nombres algébriques. Si j'ai raison de douter, ce que dit la vidéo est juste une façon de parler.

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Edité par robun 27 avril 2023 à 19:42:24

Il parle de la probabilité de tirer un nombre réel d'un intervalle. Là c'est beaucoup plus facile.

Si on considère un intervalle I = [a, b], la probabilité de tirer de façon équiprobable un nombre appartenant à un sous-intervalle J = [c, d] (inclus dans I) est de \( \dfrac{d-c}{b-a} \).

(Ici la densité est la fonction \( x \mapsto \dfrac{1}{b-a} \) sur I et 0 ailleurs. Je crois qu'on voit ce genre de chose en terminale.)

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Edité par robun 28 avril 2023 à 13:14:58