Bonjour,

J'ai encore besoin de votre aide concernant une démonstration d'une conjecture sur les nombres premiers (j'ignore si la démonstration nous est accessible cependant, contrairement au problème précédent).

Soit p un nombre premier, k un entier naturel supérieur ou égal à 1 et sigma la fonction somme des diviseurs. Si le reste de la division de sigma((2k)*p-p²)-1 par p est égal à p-2k alors p-2k est aussi un nombre premier.

Par exemple si p=1031 et k=500 alors le reste de la division de sigma(1031000-1031²)-1 par 1031 est égal à 31 et 31 est un nombre premier (le reste vaut bien 1031-2*500 = 1031-1000 = 31).

Ce que j'ai commencé à faire : j'ai remarqué que si p et p-2k sont premiers alors 2kp-p² est décomposable sous la forme de 2kp-p²=p(2k-p). 

Mais je ne vois pas comment continuer la démonstration en faisant intervenir sigma ensuite.

J'espère que vous pourrez m'aider, merci.

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Edité par Craw 28 mai 2022 à 6:30:31

>  2kp - p^2 = p(2k-p)

C'est apparemment vrai quel que soit p. En quoi ça avance ?

michelbillaud a écrit:

>  2kp - p^2 = p(2k-p)

C'est apparemment vrai quel que soit p. En quoi ça avance ?

Là on peut continuer en disant que si p ne divise pas 2k-p (en gros p>2 et p ne divise pas k) alors :

𝞼(2kp-p²)=𝞼( p(2k-p) )=𝞼(p)𝞼((2k-p)=(1+p)𝞼(2k-p)

et on a : 𝞼(2kp-p²) [p] ≡ 𝞼(2k-p)

Or on a 𝞼(2k-p) [p] ≡ 2k-p+1 uniquement si 2k-p est premier.

Donc en effet, on fait beaucoup de bruit pour rien.

Il va vraiment falloir apprendre un peu à te débrouiller en math, @Craw, sinon tu vas perdre beaucoup de temps et d'énergie.

Bonjour,

Merci encore pour ta réponse White Crow. Je pense en effet que travailler sur des conjectures n'est pas la bonne méthode pour revenir à niveau.