Bonjour,

En jetant un coup d'œil à une des formules de Ramanujan pour calculer les décimales de pi : http://www.pi314.net/fr/ramanujan.php j'ai détourné une des formules et j'ai remarqué quelque chose d'étonnant (à mon sens).

La formule suivante $$\frac{4!*n+21460}{2^{11}*(173!)^4*441^3}$$ semble donner des nombres premiers quand n n'est pas très grand. 

Plus précisément on obtient une fraction (qui est le résultat exact de la formule ci-dessus) et dans cette fraction le numérateur semble valoir soit 1 soit un nombre premier (encore une fois quand n n'est pas très grand, je n'ai pas la limite exacte mais j'ai des exemples qui ne marchent plus pour n très très grand).

Par exemple sous wolframalpha avec n=13 je trouve $$\frac{197}{b}$$ avec b un nombre très grand. Mais 197 est le numérateur et il est premier.

Sachant que l'expression de base provient d'une somme infinie donnant des décimales de pi, y'a-t-il un quelconque lien avec les nombres premiers et une explication à ce phénomène ?

EDIT : j'ai une idée, ça viendrait de la décomposition en facteurs premiers (numérateur inférieur au dénominateur) donc on a de grandes chances d'avoir un nombre premier au numérateur. Je retrouve le même comportement en modifiant la formule. Je pense donc que ce n'était qu'un hasard !

Merci à vous.

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Edité par Craw 16 février 2019 à 21:31:25

Je pense que ton EDIT donne l'explication.  Au dénominateur de l'expression originale, on a (173!), et à la puissance 4 en plus. Donc tous les nombres premiers entre 2 et 173 apparaissent 4 fois ou même plus au numérateur. Donc, après simplification, on est à peu près sur de n'avoir aucun facteur inférieur à 173 au numérateur. Donc pour tomber sur un nombre non premier,  il faut tomber sur un nombre du type k.a.b avec a et b premiers, et supérieurs à 173. On est donc sur des nombres assez grands.