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Nombres retournés

    25 avril 2019 à 3:04:13

    Salut à tous, je suis venu chercher de l'aide parce que je sèche complètement sur le problème suivant ( issu de la FSJM http://homepage.hispeed.ch/FSJM/archives.htm ) : 

    Le « retourné » de 12, c'est-à-dire 21, a pour carré 441, qui est le « retourné » du carré de 12, égal à 144. Trouvez un nombre de trois chiffres différent de son retourné et tel que le carré de son retourné soit égal au retourné de son carré.

    Note : Le premier chiffre d’un nombre de trois chiffres ou de son retourné ne doit jamais être un 0. 

    La seule réflexion à laquelle j'ai pu aboutir est que si l'on considère a un nombre à trois chiffres avec x les centaines, y les dizaines et z les unités alors la différence entre a et son retourné est de 99*(x-z).

    Merci d'avance.

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      25 avril 2019 à 13:34:25

      102 et 201

      103 et 301

      112 et 211

      113 et 311

      Et si tu veux des nombres de 4 chiffres :

      1002 et 2001

      1003 et 3001  

      1012 et 2101    et quelques autres

      Quand il n'y a pas de retenues, la propriété marche assez bien. Je ne sais pas si les 4 solutions que j'ai proposées pour 3 chiffres sont les seules, mais je pense que oui.

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        25 avril 2019 à 14:49:14

        Effectivement les solutions que tu viens de me donner sont justes ( restes à savoir si ce sont les seules ) par contre j'aimerai bien savoir comment tu as pu les trouver ?

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          25 avril 2019 à 15:24:41

          12 est donné en exemple. 

          On voit que s'il n'y a pas de retenues dans la multiplication 12*12, et pas de retenues dans la multiplication 21*21... alors tout marche bien.

          (10a+b)² = 100a² + 20ab +b²

          (10b+a)² =100b² +20ab+ a²

          Si 2ab vaut moins que 10, si a² vaut moins que 10 et si b² vaut moins que 10, alors  la propriété est vérifiée (pas de retenues).

          Donc en combinant des petits chiffres, on trouve quelques solutions, avec 2 chiffres. Avec 3 chiffres, on applique la même logique, s'il n'y a aucune retenue,  ça marche.

          Il peut parfaitement y en avoir d'autres, mais c'est peu probable.

          Comment j'ai eu l'intuition que ça marcherait comme ça ?  La première fois que j'ai touché une calculatrice, j'avais déjà fait des milliers de multiplication à la main, avec des nombres de 2 ou 3 ou 4 chiffres ; ça doit aider un peu.

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            25 avril 2019 à 16:03:20

            une cinquième solution qui a échappé à ton intuition:  122 et 221  :)

            les carrés 14884  48841

            d'autres? :o

            Je n'ai pas pas trop cherché mais je m'interroge sur une preuve  plus systématique pour prouver l'exhaustivité de la  liste. Si  le problème a été posé à une épreuve type olympiades, il devrait normalement y en avoir une. (*)

            edit

            1-après une vérification "bourrine" avec un petit algorithme, cette cinquième solution est bien la dernière,... "preuve" pas pleinement satisfaisante néanmoins,  mathématiquement parlant  :-° 

            2- (*) tout dépend néanmoins  comment est formulée précisément la question, selon que l'on demande de trouver des solutions ou toutes les solutions , ce n'est sans doute pas la même réponse attendue ( tel que rédigé dans le post initial, on demande de trouver un nombre  ... dans ce cas, celui qui commence par le premier nombre à trois chiffres qui répond aux hypothèses soit 102 a tout bon et peut rendre sa copie ! :lol:

            -
            Edité par Sennacherib 25 avril 2019 à 20:14:25

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            tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable

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