Bonjour à tous.
J'ai une question existentielle qui me dérange.

Soit deux proposition P et Q.

Si P est fausse et Q est fausse, alors P => Q est vraie

Je n'arrive pas à me le représenter.

Quand j'ai demandé à mon professeur de math, il m'a dit : C'est par-ce que P => Q est en fait <math>\(\overline{P} \vee Q\)</math>

Je veux bien. Mais je n'arrive pas à me représenter la chose.


Si P est fausse et Q est fausse, alors P => Q est vraie

Si P est fausse et Q est vraie, alors P => Q est vraie

Je n'arrive pas à me représenter pourquoi l'implication est vraie.

Pouvais-vous m'aider?

Merci.

Si P est faux, alors n'importe quel Q, même faux, peut résulter de P. Donc si P est faux, P => Q est toujours vrai.
(cf. B. Russel : démonstration à partir de "2+2=5" de "je suis le Pape" : ici).

Mais si P est vrai, alors P => Q est vrai ssi Q est vrai. Si Q est faux et P est vrai, P => Q est faux (on ne peut pas impliquer quelque chose de faux à partir du vrai).

C'est du moins l'explication qu'on m'avait donnée.

Ta réponse est excellente et m'aide énormément.
Cette phrase ma sacrément aidé :

Citation : Frapy

Si P est faux, alors n'importe quel Q, même faux, peut résulter de P.

Un grand merci !


Edit :

Quelque petit détail me chiffonne cependant.

Donc si P est faux, P => Q est toujours vrai.

Pourquoi? Si ma proposition P est fausse, et j'obtiens un Q fausse, Mon raisonnement qui m’emmène à dire que P => Q Peut être faux non? Et comme tu le dis :

Citation : Toi

alors n'importe quel Q, même faux, PEUT résulter de P

Je dirais que c'est pareil que pour P vrai, Q vrai et P=>Q vrai : mon raisonnement qui m'emmene de P vrai vers Q vrai peut être faux. Et pourtant P=>Q est vrai.

Merci de tes réponses éclairantes :).

Je pense plutôt que c'est le P qui résulte du Q.

---> []

Pour revenir sur la réponse de ton prof et avoir une approche plus "formelle" : L'implication est une opération logique, au même titre que le "OU", "ET" ou "NON" et à ce titre possède également une table de vérité.

Et la *définition* de "P=>Q" est, comme te l'a dit ton prof : "NON(P) OU Q". Un exemple concret pour comprendre : un père dit à son fils "Mange ta soupe, ou tu recevras une fessée". Tu repère bien ici la structure : "NON(P) ou Q" avec P="ne pas manger sa soupe" et Q="recevoir une fessée".

Et en langage naturel, il reviendrait au même de dire : "SI tu ne manges pas ta soupe, ALORS tu recevras une fessée".
Ce qui correspond à la proposition "P=>Q".

Au passage tu vois aussi que si P est faux (la gamin a mangé sa soupe), Q peut très bien être faux (il ne se prend pas de raclée) ou vrai (eh oue, le ptit a cassé la pipe de Papa, qui s'est énervé).

Si tu traces la table de vérité de "=>" tu as :

P	Q	NON(P)	NON(P) ou Q (c'est à dire : P=>Q)
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	0	1

Quand on dit "P implique Q" (est vrai), cela signifie que quelque soit les états de P et Q (vrai ou faux), lorsqu'on calculera "NON(P) OU Q", le résultat sera sans faille celui donné par le tableau ci-dessus.

Citation

Je dirais que c'est pareil que pour P vrai, Q vrai et P=>Q vrai : mon raisonnement qui m'emmene de P vrai vers Q vrai peut être faux. Et pourtant P=>Q est vrai.

Euh je ne comprends pas bien ... le raisonnement qui t'emmène de P vers Q n'a rien à faire ici.
Deux choses qui me semblent correspondre :
* avoir P vrai et Q vrai ne suffit pas à dire P=>Q vrai. (par exemple :je vois une Irlandaise, elle est rousse, donc toutes les irlandaises sont rousses ->raisonnement foireux)
* Pour pouvoir dire que Q est vrai, il ne suffit pas d'avoir "P=>Q" : il faut également avoir P vrai. Autrement dit : Si P est vrai et "P=>Q" est vrai, alors Q est vraie.

Autre façon de retenir la table de vérité de P=>Q :
- Si P est faux, P => Q est vraie
- Si Q est vraie, P => Q est vrai
- Le seul cas dans lequel P => Q est fausse est celui ou P est vraie et Q est fausse.

Merci à tous.
Le retenir ne me pose aucun problème.
C'est le concept qui me pose le plus de problème.

* avoir P vrai et Q vrai ne suffit pas à dire P=>Q vrai. (par exemple :je vois une Irlandaise, elle est rousse, donc toutes les irlandaises sont rousses ->raisonnement foireux)

Ah bon? Pourquoi ? C'est la définition même de l'implication non? ça table de vérité dit que si P est vrai et Q est vrai, alors P=> Q est vrai.

Merci de votre aide!

Sur les irlandaises rousses de sebsheep, l'exemple est foireux. Ou plutôt, son interprétation l'est. Dans cet exemple, P est en fait "La femme de l'exemple est irlandaise" et Q "La femme de l'exemple est rousse". Donc P=>Q : "Si la femme de l'exemple est irlandaise, alors elle est rousse". La phrase est vraie.

Il ne faut surtout pas confondre causalité et implication (je m'adresse à sebsheep, j'ai l'impression que c'est ce qui t'as fait penser à cet exemple) ! Même si ce n'est pas le fait d'être irlandaise qui a pour effet de rendre la femme de ton exemple rousse, le premier implique tout de même le second. Quand il y a causalité, il y a implication (il me semble), mais l'implication ne requiert absolument pas la causalité. En d'autres termes, la causalité implique l'implication, mais l'implication n'implique pas la causalité. Euh ...

Tu veut dire, la causalité cause l'implication, mais l'implication ne cause pas la causalité...

Nah, justement, la causalité ne cause pas l'implication, mais elle l'implique .

Pas faux.

bonjour ,svpcomment demontrer que ( p et q ) implique ( non p ou q) est vraie ? merci

Je pense que manger des carottes râpées un soir de pleine lune est la solution correspondante au cycle du sommeil des ornithorynques. Il faut donc, selon ce cycle circadien, éviter de mélanger les lipides et les glucides. Donc, \( \text{p et q } \rightarrow \text{non P ou Q} \) n'est pas faux.

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Edité par edouard22 20 septembre 2017 à 22:14:16