J'ai un sérieux mal à comprendre comment peut-on passer de \(\displaystyle \text{min} \{\sqrt{x^2+\text{ln}^2(x)}\}\) à \(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{W(2)(W(2)+2)}\) (où \(W(x)\) est la fonction W de Lambert) (obtenu avec Wolfram-alpha). J'ai essayé d'annuler la dérivée du premier terme : \(\displaystyle \frac{x^2+\text{ln}(x)}{x\sqrt{x^2+\text{ln}^2(x)}} = 0\), mais malgré tout je reste quelque peu bloqué. Merci d'avance.
L'annulation de la dérivée \(x^2+\ln(x) =0\) peut se mettre sous la forme \(\frac{1}{x^2}\ln(\frac{1}{x})=1\).
Faisons le changement de variable \(u=\ln(\frac{1}{x})\). \(u\) doit donc vérifier \(ue^{2u}=1\) que l'on écrit \((2u)e^{2u}=2\).
Donc par définition de la fonction de Lambert , \(2u =W(2)\). Le minimum est donc atteint pour \(\frac{1}{x}=e^{\frac{W(2)}{2}}\).
La valeur du minimum est obtenu par substitution dans \(\sqrt{x^2 +\ln^2(x)} \).
Il vient:\(min= \sqrt{\frac{1}{e^{ W(2)} } +\ln^2(\frac{1}{e^{\frac{W(2)}{2}}} )} \).
En utilisant les propriétés de la fonction de Lambert, le premier terme vaut \(\frac{W(2)}{2}\). On voit facilement que le second vaut \(\frac{W^2(2)}{4}\).
On a donc finalement \(min= \sqrt{\frac{W(2)}{2} +\frac{W^2(2)}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{W(2)(W(2)+2)}\).
- Edité par Sennacherib 10 août 2018 à 18:25:00
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Tout d'abord merci, sincèrement merci d'avoir pris le temps de répondre.
Cela va sans doute vous sembler bête, mais j'ai (de nouveau) un problème afin de comprendre comment vous passez de \(\displaystyle x^2 + \text{ln}(x) = 0\) à \(\displaystyle \frac{1}{x^2}\text{ln}(\frac{1}{x}) = 1\). En revanche, la suite me paraît couler de source. (J'apprends en autodidacte, hors cursus scolaire même si je suis encore dedans. Le principal bémol est que j'apprends des choses certes, mais loin de la meilleure des manières possible (...histoire d'être quelque peu cynique envers "l'optimiste génie universel").)
J'ai essayé avec d'autres expressions : \(\displaystyle \text{min} \{\sqrt{x + \text{ln}(x)}\}\) et \(\displaystyle \text{min} \{\sqrt{x^3 + \text{ln}^4(x)}\}\), et la seule chose qui me gêne est le passage d'une forme à l'autre que vous évoquez dans à la première ligne de votre message. Ensuite, j'obtiens les mêmes résultats que ceux donnés par Wolfram-alpha. [N'ayant aucun autre moyen de vérification, je ne peux que me reposer sur les données retournées par Wolfram-alpha en terme de vérification. Sans tout de même partir dans une "démence sceptique", j'essaie de toujours relativiser (quand je peux, typiquement pas là) les résultats obtenus numériquement.]
Je suis retombé sur un topic (https://openclassrooms.com/forum/sujet/l-intuition-en-mathematiques) concernant l'intuition mathématique. Le fait que vous fassiez un changement de variable \(\displaystyle u = \text{ln}(\frac{1}{x})\) résulte du fait que le cas soit trivial ou alors cela émane du fait d'une pratique amenant intuition et ainsi de suite. Car, bien qu'il se pourrait que j'eusse eu pu trouver le bon changement de variable cela aurait été une "chance du débutant", au coup d'oeil je ne remarque pas "tout cela".
J'ai un peu honte, c'était en fait très simple. Merci beaucoup. J'ai donc également pu comprendre comment l'on se débrouille avec \(\displaystyle \text{min} \{\sqrt{x + \text{ln}(x)}\}\) et \(\displaystyle \text{min} \{\sqrt{x^3 + \text{ln}^4(x)}\}\).
- Edité par Yapix 10 août 2018 à 23:22:31
Passage d'un terme à un autre
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