Salut, alors un corollaire immédiat du Théorèmes de Charkovski, appelé "Période 3 implique chaos"  dit que :

Pour toute fonction f continu  ,de I dans I avec I un intervalle réel, si f admet un point x de période 3 (i.e : f o f o f (x) := f^3(x) =x ) . Alors pour tout k entier naturel, f admet un point périodique de période k.

Je voulais savoir pourquoi on parle de chaos ? Qu'est ce que vient faire de nom de chaos (qui en français à une signification) dans ce théorème. 

Mon niveau en math est celui de début L2. Du coup tout ce qui est théorie de systèmes dynamiques ...etc , je connais pas trop. En physique, j'ai niveau MPSI.

Donc voilà si quelqu'un à une explication à me donner sur ce terme de chaos je suis preneur.  

J'ai hésité à le poster en partie physique, peut-être que je devrais (après tout du peu que j'en sais, je crois que la notion de chaos à d'abord émergée en physique) .

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Edité par Arousme 15 novembre 2017 à 1:03:40

La notion de chaos recouvre différentes définitions cf par exemple ce document descriptif http://parisinnovationreview.com/article/les-mathematiques-du-chaos.

Si on se restreint à la définition suivante: système déterministe simple ( peu de variables, éventuellement une seule) pouvant évoluer, sous certaines conditions,  de façon imprévisible , on peut constater que une suite définie par \( x_{n+1} =f(x_n)\) peut répondre à ce genre de définition  même pour des fonctions \(f\) trés banales.

L'exemple classique souvent présenté est celui de la suite dite  logistique définie avec la fonction parabole  \(f(x)=ax(1-x)\) sur \(x \in [0,1]\)  avec \( a \) coefficient supposé entre \(]0,4]\) pour que \(f(x)\) soit dans \([0,1]\). Le comportement de cette suite va "mystérieusement" devenir chaotique à partir de certaines valeurs du coefficient \(a\).
Jusqu'à \(a=3\), l'évolution de la suite quand \( n \rightarrow +\infty\) est parfaitement déterminé et la suite converge vers une valeur de \([0,1]\) quelle que soit la valeur initiale \(x_0 \in [0,1]\). ( la limite est nulle si \(a<1\) et croit de façon monotone jusqu'à \(a<3\), cette limite correspond au point fixe \(x=f(x)\).

Lorsque \(a\) atteint 3, se produit ce que on appelle en théorie du chaos une bifurcation. Quand \( n \rightarrow +\infty\), la suite oscille entre des valeurs bien déterminées avec une périodicité .  Cette périodicité ( multiplication des bifurcations ) augmente selon une loi en \(2^n\) c.a.d que \(f^{2n}(x)=x\)...jusqu'à une valeur précise de \(a\sim 3,57\) ( on parle de cascade de Feigenbaum, cf ce nom si besoin) . Alors  la périodicité disparaît et un régime  chaotique s'installe avec une extém sensiblité aux conditions initiales ( un  très faible changement de \(x_0\) induit une suite totalement différente . 

 Ainsi sont illustrés les étranges comportements que l'on peut obtenir en partant d'un simple arc de parabole.

Quel est le lien dans tout cela avec le théorème de Sarkovskii?
Si on cherche la valeur de \(a\) à partir de laquelle il apparaît des points de périodes 3 ( autre que le point fixe \(f(x)=x\) on trouve que \(a \sim 3,828\) . C'est la valeur pour laquelle le régime chaotique  permet de trouver des points de [0,1] ayant n'importe quelle période  puisque 3 est le premier entier dans l'ordre de Sarkovskii.  La suite logistique est définie par une fonction qui à partir d'une certaine valeur de \(a\) répond aux conditions du théorème.( remarque: période 3 n'a rien à voir avec a=3 où apparaît la première bifurcation ) 

Ci-dessous trois graphiques correspondant au passage d'un régime déterministe, oscillant, enfin chaotique:

pour le premier solution pour \(f(x)=x\) seulement avec \(a=2.8 <3\)

pour le second    l’existence d'un autre point de  période 2 mais pas 3 ( tracé pour a=3.2 >3 mais < à 3.57) (solutions pour \( f^2(x)=x \) )

pour le troisième , existence de points de période 3 ( tracé a=3.9) (solutions pour \( f^3(x)=x \) )

remarque "historique  sur le titre ""période 3 implique chaos" . C'est le titre un peu "raccoleur' d'un papier publié en anglais ( period three implies chaos) par deux américains Li et York en 1975, trés postérieuremnt au travaux de Sarkovky ( 1964). Mais ce dernier n'avait publié qu'en Russe dans une revue ukrainienne (!)  et ses résultats ont été  ignorés de la communauté scientifique jusqu'à ce que quelqu'un ait eu la bonne idée de traduire... pour constater que l'article américain n'était qu'un cas particulier de ce qu'avait fait Sarkovsky).

On peut d'ailleurs constater dans l'exemple  qui précéde qu'un certain régime chaotique s'installe avant que n'apparaissenet des points de période 3 qui semble donc une condition  suffisante  pour un  chaos avec existence de toutes périodicités mais pas une condition  nécessaire, un certain chaos pouvant apparaitre en l'absence de point 3-périodique .
Lorsque \(f\) a un point de période 3, donc de toute période,   je crois  enfin que on peut montrer que le nombre de points périodiques est dense dans l'intervalle de  de définition mais  qu'il existe un ensemble non dénombrable de points non périodiques.

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Edité par Sennacherib 18 novembre 2017 à 8:26:48