Bonjours a tous,

J'ai un TP a faire, mais je n'obtient pas le bon "résultat" (graphique) sur le dernier exercice, et j'aimerais donc que vous me valider le raisonnement.

Voici tous d'abord l’énoncer :

Soit A le point représentant l'observateur, et B la projection perpendiculaire de A sur pi
Soit P un point de l’espace tel que AP ne soit pas parallèle au plan π. Notons P'
le point d’intersection de AP avec π. L’Exercice 1 nous fournit un repère orthonormé {u1,u2} sur
le plan π, que l’on imagine centrée au point B. On cherche à déterminer dans ce repère les
coordonnées (p1', p2') de P'.
On remarque que les vecteurs AP et AP' sont colinéaires, c’est-`a-dire qu'il existe un λ appartenant à R tel que AP = λAP'. Ce λ peut être d´eterminée par le fait que 0 = <AB - AP', AB>

1. Trouvez la formule pour calculer λ, ainsi que celles pour calculer les coordonnées
(p1',p2').
2. Écrivez une fonction qui étant donnée A, P1, P2, P3 et P, calcule les coordonnées par rapport à la base {u1,u2} de la projection centrale de P de centre A sur le plan pi.
Comme on va le voir, il est plus pratique de passer P `a la fonction par ses coordonnées (x, y, z).

Voici donc la logique que j'ai employer :

 On sait que <AB - AP' |AB> = 0
 => <AB|AB> - <AP'|AB> = 0
 => <AB|AB> = <AP'|AB>
 => (ABx)² + (ABy)² + (ABz)² = AP'x * ABx + AP'y * ABy + AP'z * ABz
 => (ABx)² + (ABy)² + (ABz)² = lambda*APx*ABx + lambda*APy*ABy + lambda*APz*ABz
 => (ABx)² + (ABy)² + (ABz)² = lambda * (APx*ABx + APy*ABy + APz*ABz)
 => lambda = [(ABx)² + (ABy)² + (ABz)²] / (APx*ABx + APy*ABy + APz*ABz)

 On commence par calculer les coordonnées de AP' = lambda * AP
 On applique ensuite la traslation AP' au point A
 On a donc P' = (Ax + AP'x ; Ay + AP'y ; Az + AP'z) 
              = (Ax + lambda * APx ; Ay + lambda * APy ; Az + lambda * APz)
 On calcul ensuite le vecteur BP'
 On cherche la alpha et beta tel que :
 BP' = alpha * u1 + beta * u2
 Dans notre cas, u1z = 0, donc beta = BP'z / u2
 Donc alpha = (BP'x - beta * u2x) / u1x
 (p1', p2') = (aplha, beta)

Le problème c'est que la projection de la fonction :

t -> (x(t), y(t), z(t))^t = (5 + sin(20πt), 5.5 + sin(18πt), −4 + sin(22πt))^t
M^t : la transposer de la matrice M

Devrait donner :

Alors qu’actuellement j’obtiens :

Si quelqu'un connais aussi MatLab, voici le code que j'utilise pour appliquer la demarche decrite ci-dessus :

function [xp,yp] = Perspective(A,B,u1,u2,x,y,z)
    % On commence par calculer les vecteurs AB et AP
    AB = B - A;
    P = [x; y; z];
    AP = P - A;
    
    % On calcul ensuite lambda
    % <AB,AB>
    dotAB = dot(AB,AB);
    % <AP,AB>
    produitScalaireAPAB = (AP(1,:)*AB(1,:) + AP(2,:)*AB(2,:) + AP(3,:)*AB(3,:)); 
    % On rempli une matrice de la taille du nombre de point avec <AP,AB>
    matriceABAB = ones(size(produitScalaireAPAB)) * dotAB;
    % On obtient alors les differents lambdas pour les differents point P
    lambda = matriceABAB / produitScalaireAPAB;
    
    % On calcul les differents P'
    P_prime = lambda .* AP + A;
    
    % On calcul vecteur BP'
    BP_prime = P_prime - B;
    
    % On commence par calculer les differents beta
    beta = BP_prime(3,:) / u2(3);
    yp = beta;
    
    % On calcul enfin alpha
    alpha = (BP_prime(1,:) - beta .* u2(1)) / u1(1);
    xp = alpha;    
end

(Si la logique est valider, je publierai le code sur un forum dédier a la programmation, le but étant surtout de savoir si la démarche est correcte)

Merci d'avoir prit le temps d'avoir lu ce pavé, et merci d'avance pour votre aide

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Edité par K4kugen 8 mars 2020 à 21:25:39