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point critique d'une fonction à deux variable

Sujet résolu
    13 juin 2018 à 13:27:31

    salut, j'ai un soucis dans un exercice de Math et je ne sais le résoudre.

    " Determiner les points critiques de la fonction f : (x,y) → xey+yex. Preciser leur nature. "

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      13 juin 2018 à 20:46:00

      Hello.

      Juste pour être sur : la fonction est \( f(x,y) = xe^y + y e^x \)  ?
      Sinon, ici il s'agit simplement d'appliquer la définition de point critique. Quelle est cette définition dans ton cours ?

      -
      Edité par edouard22 13 juin 2018 à 20:50:17

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        15 juin 2018 à 9:14:38

        edouard22 ,oui c'est ça la fonction ce que j'ai .
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          15 juin 2018 à 9:20:19

          la question porte peut-être plus sur la résolution du système auquel la définition conduit que sur la définition elle-même. Elle présente une petite difficulté. 
          Parce que si on a cet exercice à faire et que on ne connait pas la définition, ...y a un souci :-°  Surtout que pour préciser la nature, on est supposé connaitre la hessienne.

          (edit: écrit avant d'avoir vu le dernier message qui ne répond pas à la question soulevée)

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          Edité par Sennacherib 15 juin 2018 à 9:21:56

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          tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
            15 juin 2018 à 16:35:02

            AichaFakhry : on ne peut pas t'aider si tu ne donnes pas un minimum de détail. Ici, on ne sait pas ce qui t'arrête. Est-ce que tu bloques dans les calculs ? Si oui, il faut indiquer ces calculs. Est-ce que tu bloques dès le début, c'est-à-dire est-ce que tu ne sais pas comment commencer ? Si oui, il faut répondre à la question d'edouard22 (car elle mène au point de départ de la résolution).

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            Edité par robun 15 juin 2018 à 16:35:21

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              15 juin 2018 à 21:32:54

              je bloque au niveau de la resolution de systeme 

              exp(x)+xexp(1/x)=0

              xy=1 

              mon probleme c'est que j'ai pas pu trouver les points critique . Je sais les etapes ce que je dois faire apres la trouvaille de ces points .

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                15 juin 2018 à 22:32:32

                Le système est bon. Petit indice ornithorynquiale est ce qu'une solution simple comme x=1 existe ?

                @Sennacherib Pas de faute de frappe, mais je ne voulais pas donner la solution directement :D

                -
                Edité par edouard22 15 juin 2018 à 22:46:12

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                  15 juin 2018 à 22:41:03

                  x=1, cela m'étonnerait, foi d’ornithorynque !  faute de signe ou faute de frappe ... :lol: 

                  edouard22 a écrit:

                  Le système est bon. Petit indice ornithorynquiale est ce qu'une solution simple comme x=1 existe ?

                  @Sennacherib Pas de faute de frappe, mais je ne voulais pas donner la solution directement :D

                  -
                  Edité par edouard22 il y a 7 minutes


                  c'est effectivement un faux indice d'ornithorynque ! mais suggérer simplement de chercher une solution simple eut été alors  ... plus simple.

                  autre remarque: une fois trouvé le point critique suggéré, il faudra  pour être complet vérifier si c'est bien le seul. ( l'énoncé dit: chercher les points critiques )

                  -
                  Edité par Sennacherib 15 juin 2018 à 23:01:27

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                  tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
                    16 juin 2018 à 0:53:25

                    impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

                    mais est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .

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                      16 juin 2018 à 2:30:33

                      Il voulait juste te dire qu'il y a une solution évidente à xexp(x)+exp(1/x) = 0. Quand tu l'auras trouvé, il ne te restera qu'à montrer qu'il n'y a qu'une seule solution possible à cette équation et tu auras trouvé tous les points critiques que tu cherches :)

                      -
                      Edité par DucK97430 16 juin 2018 à 2:31:15

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                        16 juin 2018 à 3:03:46

                        impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

                        Attention à bien lire les réponses. Personne n'a dit que x=1 était une solution. La question d'edouard22 était « est-ce qu'une solution simple comme x=1 existe ? ». Le mot « comme » n'est pas là pour rien.

                        est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .

                        Résoudre une équation en trouvant une solution évidente est une méthode connue, non ?

                        -
                        Edité par robun 16 juin 2018 à 3:04:20

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                          16 juin 2018 à 8:42:13

                          AichaFakhry a écrit:

                          impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

                          mais est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .


                          ce système ne peut pas se résoudre explicitement; il faut effectivement "deviner" un point et ensuite montrer que c'est le seul. 
                          Cette devinette ne me parait pas très difficile, mais bon , en cas de difficulté, un  tracé de la fonction \(e^x+xe^{\frac{1}{x}}\) peut aider . Cela prend 30s sous geogebra.

                          On verra d'  ailleurs "visuellement" que \(e^x+xe^{\frac{1}{x}}=0\) n'a qu'une solution, mais pour être rigoureux, il faut le montrer explicitement en étudiant les variations de la fonction. 

                          -
                          Edité par Sennacherib 16 juin 2018 à 8:56:52

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                          tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
                            16 juin 2018 à 10:53:32

                            d'accord j'ai trouvé que le point (-1,-1) est un point critique ,ensuite qu'est ce qu'on va faire ?j'ai calculer la derivée mais cela ne m'adait pas à avouer que ce point est le seul point critique !
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                              16 juin 2018 à 14:35:39

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                              tu sais que e^x est croissant
                              La question est de savoir si \( x* \exp( \frac{1}{x}) \) est croissant ou pas. Donc tu dérive \( x* \exp( \frac{1}{x}) \) ce qui te donne :
                              \( \left( \frac{x-1}{x} \right) \exp( \frac{1}{x} ) \)  ce qui est strictement positif pour x < 0 .

                              Ta fonction est donc la somme de deux fonctions croissantes. Elle est donc croissante.  donc tu sais que le point que tu as trouvé est bien le seul. :)

                              La question est maintenant de savoir : quelle est la nature de ce point ? minimum ? maximum ? point scelle ?

                              Apres, si on veut faire ca grossièrement , on peut dire pour x < 0 :
                              \( exp( \frac{1}{x} ) = 1 + \frac{1}{x} \) ( par DL de exp en 0 )  et \( exp(x) = 0 \)  Soit :
                              \( exp(x) + x*exp( \frac{1}{x} ) = 1 + x \) ce qui est une fct linéaire et nulle pour x = -1. :D

                              En théorie cette analyse n'est vraie que pour x qui tends vers moins l'infini. Ce qui n'est pas vraiment bon pour x=-1. ( en particulier, \( exp(-1) \approx 0.3 \) )

                              -
                              Edité par edouard22 16 juin 2018 à 14:53:11

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                                31 janvier 2021 à 13:00:35

                                Bonjour, 

                                je sais que suis en retard...

                                mais je ne comprends pas comment vous arrivez au système xy=1 et exp(x) +x exp(1/x) à partir de la fonction de depart. En faisant les dérivée partielles égale à zéro je n’arrive pas du tout à ce résultat 

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                                point critique d'une fonction à deux variable

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