salut, j'ai un soucis dans un exercice de Math et je ne sais le résoudre.

" Determiner les points critiques de la fonction f : (x,y) → xey+yex. Preciser leur nature. "

Hello.

Juste pour être sur : la fonction est \( f(x,y) = xe^y + y e^x \)  ?
Sinon, ici il s'agit simplement d'appliquer la définition de point critique. Quelle est cette définition dans ton cours ?

-
Edité par edouard22 13 juin 2018 à 20:50:17

edouard22 ,oui c'est ça la fonction ce que j'ai .

la question porte peut-être plus sur la résolution du système auquel la définition conduit que sur la définition elle-même. Elle présente une petite difficulté. 
Parce que si on a cet exercice à faire et que on ne connait pas la définition, ...y a un souci   Surtout que pour préciser la nature, on est supposé connaitre la hessienne.

(edit: écrit avant d'avoir vu le dernier message qui ne répond pas à la question soulevée)

-
Edité par Sennacherib 15 juin 2018 à 9:21:56

AichaFakhry : on ne peut pas t'aider si tu ne donnes pas un minimum de détail. Ici, on ne sait pas ce qui t'arrête. Est-ce que tu bloques dans les calculs ? Si oui, il faut indiquer ces calculs. Est-ce que tu bloques dès le début, c'est-à-dire est-ce que tu ne sais pas comment commencer ? Si oui, il faut répondre à la question d'edouard22 (car elle mène au point de départ de la résolution).

-
Edité par robun 15 juin 2018 à 16:35:21

je bloque au niveau de la resolution de systeme 

exp(x)+xexp(1/x)=0

xy=1 

mon probleme c'est que j'ai pas pu trouver les points critique . Je sais les etapes ce que je dois faire apres la trouvaille de ces points .

Le système est bon. Petit indice ornithorynquiale est ce qu'une solution simple comme x=1 existe ?

@Sennacherib Pas de faute de frappe, mais je ne voulais pas donner la solution directement

-
Edité par edouard22 15 juin 2018 à 22:46:12

x=1, cela m'étonnerait, foi d’ornithorynque !  faute de signe ou faute de frappe ...  

edouard22 a écrit:

Le système est bon. Petit indice ornithorynquiale est ce qu'une solution simple comme x=1 existe ?

@Sennacherib Pas de faute de frappe, mais je ne voulais pas donner la solution directement

-
Edité par edouard22 il y a 7 minutes

c'est effectivement un faux indice d'ornithorynque ! mais suggérer simplement de chercher une solution simple eut été alors  ... plus simple.

autre remarque: une fois trouvé le point critique suggéré, il faudra  pour être complet vérifier si c'est bien le seul. ( l'énoncé dit: chercher les points critiques )

-
Edité par Sennacherib 15 juin 2018 à 23:01:27

impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

mais est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .

Il voulait juste te dire qu'il y a une solution évidente à xexp(x)+exp(1/x) = 0. Quand tu l'auras trouvé, il ne te restera qu'à montrer qu'il n'y a qu'une seule solution possible à cette équation et tu auras trouvé tous les points critiques que tu cherches

-
Edité par DucK97430 16 juin 2018 à 2:31:15

> impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

Attention à bien lire les réponses. Personne n'a dit que x=1 était une solution. La question d'edouard22 était « est-ce qu'une solution simple comme x=1 existe ? ». Le mot « comme » n'est pas là pour rien.

> est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .

Résoudre une équation en trouvant une solution évidente est une méthode connue, non ?

-
Edité par robun 16 juin 2018 à 3:04:20

AichaFakhry a écrit:

impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

mais est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .

ce système ne peut pas se résoudre explicitement; il faut effectivement "deviner" un point et ensuite montrer que c'est le seul. 
Cette devinette ne me parait pas très difficile, mais bon , en cas de difficulté, un  tracé de la fonction \(e^x+xe^{\frac{1}{x}}\) peut aider . Cela prend 30s sous geogebra.

On verra d'  ailleurs "visuellement" que \(e^x+xe^{\frac{1}{x}}=0\) n'a qu'une solution, mais pour être rigoureux, il faut le montrer explicitement en étudiant les variations de la fonction. 

-
Edité par Sennacherib 16 juin 2018 à 8:56:52

d'accord j'ai trouvé que le point (-1,-1) est un point critique ,ensuite qu'est ce qu'on va faire ?j'ai calculer la derivée mais cela ne m'adait pas à avouer que ce point est le seul point critique !

Pour le coups, c'est assez rapide :

tu sais que e^x est croissant
La question est de savoir si \( x* \exp( \frac{1}{x}) \) est croissant ou pas. Donc tu dérive \( x* \exp( \frac{1}{x}) \) ce qui te donne :
\( \left( \frac{x-1}{x} \right) \exp( \frac{1}{x} ) \)  ce qui est strictement positif pour x < 0 .

Ta fonction est donc la somme de deux fonctions croissantes. Elle est donc croissante.  donc tu sais que le point que tu as trouvé est bien le seul.

La question est maintenant de savoir : quelle est la nature de ce point ? minimum ? maximum ? point scelle ?

Apres, si on veut faire ca grossièrement , on peut dire pour x < 0 :
\( exp( \frac{1}{x} ) = 1 + \frac{1}{x} \) ( par DL de exp en 0 )  et \( exp(x) = 0 \)  Soit :
\( exp(x) + x*exp( \frac{1}{x} ) = 1 + x \) ce qui est une fct linéaire et nulle pour x = -1.

En théorie cette analyse n'est vraie que pour x qui tends vers moins l'infini. Ce qui n'est pas vraiment bon pour x=-1. ( en particulier, \( exp(-1) \approx 0.3 \) )

-
Edité par edouard22 16 juin 2018 à 14:53:11

Bonjour, 

je sais que suis en retard...

mais je ne comprends pas comment vous arrivez au système xy=1 et exp(x) +x exp(1/x) à partir de la fonction de depart. En faisant les dérivée partielles égale à zéro je n’arrive pas du tout à ce résultat