Bonjour

je lis partout qu'un polynôme du 3ème degré (ax³+bx²+cx+d=0) a toujours au moins une racine réelle (selon le signe du discriminant). Pourtant, je peux m'imaginer une fonction du 3ème degré qui ne coupe pas l'axe des x, qui reste tout le temps au-dessus dans le graphique. 

Merci.

Raf

Un polynôme du troisième degré a forcément une limite en moins l'infini qui est l'opposée de sa limite en plus l'infini. Donc forcément la fonction passe au moins une fois par zéro.

RafMaester a écrit:

Je peux m'imaginer une fonction du 3ème degré qui ne coupe pas l'axe des x, qui reste tout le temps au-dessus dans le graphique. 

Par exemple ?

Je peux m'imaginer un éléphant volant, mais je vais avoir du mal à vous en montrer un.

Oui, en fait, il est impossible de tracer un graphique du 3ème degré sans qu'elle ne coupe au moins une fois l'axe des x, sauf peut-être dans un interval de x restreint. Pour une fonction du 2ème degré, c'est par contre possible qu'elle ne coupe pa l'axe des x.

Merci.

Y a pas de sauf.

Un _polynome_ du 3ieme degré, ça coupe l'axe des x en 1, 2, ou 3 points distincts.

Et en général, les polynomes de degré impair coupent en au moins un point. Pour les raisons indiquées

1. ce sont des fonctions continues

2. elles tendent vers +l'infini d'un côté, et - l'infini de l'autre.

La notion de racine est absurde si tu restreins ta fonction à un intervalle plus petit que son ensemble de définition.

Soit tu cherches les racines, et tu étudies ton polynôme dans son entièreté. Soit tu le restreint à un ensemble et tu peux t'intéresser à son nombre d'intersection avec telle ou telle autre courbe (en l’occurrence, l'axe (Ox) ).

RafMaester a écrit:

Oui, en fait, il est impossible de tracer un graphique du 3ème degré sans qu'elle ne coupe au moins une fois l'axe des x, sauf peut-être dans un interval de x restreint. Pour une fonction du 2ème degré, c'est par contre possible qu'elle ne coupe pa l'axe des x.

Merci.

michelbillaud a écrit:

RafMaester a écrit:

Je peux m'imaginer une fonction du 3ème degré qui ne coupe pas l'axe des x, qui reste tout le temps au-dessus dans le graphique. 

Par exemple ?

Je peux m'imaginer un éléphant volant, mais je vais avoir du mal à vous en montrer un.

Dumbo.

Pour en revenir au sujet, je veux juste approuver ce qui a été dit plus. Si tu ne prends qu'un intervalle de ton polynôme, alors il peut ne pas couper l'axe des x, mais je vois pas l'intérêt de raisonner comme ça.

Se dire "si j'exclus les points de la courbe qui croisent l'axe des x de mon intervalle, alors la courbe ne coupe plus l'axe des x".

Certes c'est vrai, mais c'est comme se dire "si je ferme les yeux, alors la lune n'est plus dans le ciel".