Bonjour à tous, je m'interrogeais sur l'égalité citée dans le titre, me demandais de quelle logique découlait-elle. J'ai visionné une vidéo de Eddy woo ne m'ayant pas satisfaite. Si quelqu'un avait un élément de réponse au moins pour l'ensemble des réels j'appréfierais vraiment obtenir sa lumière. De plus j'ai cru entendre que l'égalité restait vraie pour a négatif et b positif mais pas pour les deux négatifs. Est-ce que quelqu'un aurait une idée de pourquoi? 

Merci beaucoup d'avance

Salut, je dirais que d'un point de vue purement logique (Au sens math du terme), si a est négatif et b positif, les termes à gauche et à droite sont faux, or l'égalité faux=faux est vraie. Si les deux sont négatifs, tu as vrai à gauche  et faux à droite, ce qui est faux

Notons x= √a et y=√b et calculons (x*y)²

(x*y)² = (x*y) * (x*y) = x*x*y*y = x² * y²

La 2ème égalité est justifiée par le fait que la multiplication est associative/commutative.

Reprenons les notations du début : (√a * √b)² = √a² * √b² = a*b

Et donc en prenant la racine carrée de ces 2 expressions :  √a * √b =√(a*b)

La seule propriété qui intervient, c'est donc la commutativité/associativité de la multiplication.

J'ajoute que si \(a\) est négatif, alors\(\sqrt{a}\) n'a pas de sens (n'existe pas, si tu préfères), et si \(b\) est négatif alors \(\sqrt{b}\) n'a pas de sens non plus.

Donc dès que \(a\) ou \(b\) est négatif, ton égalité n'est ni vraie ni fausse : elle ne veut rien dire.

je partage ce que dit Zachee . Si j'écris \(\sqrt{a+b}= \sqrt{a}+\sqrt{b}\) avec \(a>,b>0\)l'égalité est fausse mais chaque membre a un sens . 

Si au départ, l'opération n'est pas définie, on en reste là, non? ...sauf à faire une excursion douteuse dans sa légitimité par les complexes

Je serais curieux d'avoir le lien vers la vidéo du dénommé Eddy Woo pour vérifier s'il a bien dit ce que tu retranscris. Pour que ceci ait un sens formel, il faut, à mon avis, considérer \(\sqrt{-1}=i\)

Considérons par exemple \(\sqrt{-7} \sqrt{3} = \sqrt{-21}\) selon l’algèbre usuelle , soit  \(i \sqrt{ 7} \sqrt{3} = i \sqrt{ 21}\) et  \(\sqrt{-21}=i\sqrt{21}\). Il y a bien égalité formelle des deux membres.

Considérons maintenant deux  signes négatifs  \(\sqrt{-7} \sqrt{-3} =  \sqrt{ 21}\)selon l’algèbre réelle usuelle des radicaux .

Mais aussi \(\sqrt{-7} \sqrt{-3}=i\sqrt{ 7} i\sqrt{ 3}=i^2\sqrt{21}=-\sqrt{21}\) dans ce cas l'égalité est bien fausse !  

Mais à mon avis le paradoxe  vient simplement de la manipulation douteuse de \(\sqrt{-7}\sqrt{-3} \), 2 nombres   qui n'existent  pas dans \(\mathbb{R}\)   avec les règles d'un calcul algébrique dans  \(\mathbb{C}\)  

Ce qui est illégitime c'est d'écrire \(\sqrt{-7} \sqrt{-3} =  \sqrt{ 21}\), les nombres de gauche n'existant pas dans \(\mathbb{R}\)  .

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Edité par Sennacherib 26 août 2019 à 16:02:51