Bonjour !

J'ai trouvé ceci :

<math>\(x=0,9999999999\)</math> avec une infinité de 9.
<math>\(10x=9,9999999999\)</math>
<math>\(10x=9+0,99999999999\)</math>
<math>\(10x=9+x\)</math>
<math>\(9x=9\)</math>
<math>\(x=1\)</math>

Pourquoi <math>\(0,999999999999=1\)</math> ?

Merci

Parce que tu viens de le démontrer (et que c'est vrai) ! Cela met le doigt sur un problème épineux : il n'y a pas unicité de l'écriture d'un décimale.

En général et pour éviter ce genre de problème, on s'interdit d'écrire une infinité de '9' consécutifs.

C'est à dire que tout nombre décimal a deux écritures possibles ?

Oui. Deux écritures décimales possibles.

(Si tu acceptes les fractions, une infinité bien sûr.)

Bonjour,
Ce genre d'écriture formelle n'est pas rigoureuse et ne démontre rien.
En fait je pense que la bonne façon de présenter la chose est de dire que x est la limite d'une série Sn dont le terme générique est xn = 9. 10^(-n). Sn=x1+x2+...+xn
1 =lim(Sn ) lorsque n tend vers l'infini.

D'ailleurs c'est une façon de construire tout nombre réel comme série convergente de terme rationnel qn ( fractions), même si ce nombre ne peut se ramener à une fraction (exemple simple √2 ou tout irrationnel de façon générale).

Et sur le même raisonnement que nabucos, tu peux du coup trouver l'écriture fractionnaire de n'importe quel décimal avec un motif.

Par exemple 7.325325325... à pour motif 325.
Donc c'est égal à 7 + 325/999.

0.123456789123456789... = 123456789 / 999999999

etc. Très pratique pour se la jouer en repas de famille.

Moi je pense que tout simplement la notation 0.9999999... signifie la limite de la suite
U(n+1)=(U(n)+9)/10 avec U(0)=0, qui en effet est 1. C'est juste une histoire de notation...

Intéressant je ne connaissais pas le truc des motifs !

Sinon, je suis en première S et je ne fais que commencer les suites alors .... =)

Une recherche sur ce forum t'aurais donné la réponse, on en a déjà parlé plusieurs fois. C'est juste une notation qui selon la définition que tu prends d'une écriture décimale (autorisation d'une infinité de 9 ou pas) n'a même pas de sens.

Il y a un très bon tuto de Géoml17 qui explique cette relation preuve à l'appui !!

Citation : nabucos

Bonjour,
Ce genre d'écriture formelle n'est pas rigoureuse et ne démontre rien.
En fait je pense que la bonne façon de présenter la chose est de dire que x est la limite d'une série Sn dont le terme générique est xn = 9. 10^(-n). Sn=x1+x2+...+xn
1 =lim(Sn ) lorsque n tend vers l'infini.

D'ailleurs c'est une façon de construire tout nombre réel comme série convergente de terme rationnel qn ( fractions), même si ce nombre ne peut se ramener à une fraction (exemple simple √2 ou tout irrationnel de façon générale).

Ce n'est peut-être pas rigoureux, mais c'est déjà très bien d'avoir réussi à mener le raisonnement. Si j'en crois l'âge de créateur du sujet, il est approximativement en classe de seconde (s'il est scolarisé en France), il est donc inutile de parler de séries convergentes et de limites.

À part faire du zèle et te donner une impression de savoir supérieur, cela n'apporte rien, d'autant que tu ne donnes aucune information intéressante.

Citation : souls killer

Ce n'est peut-être pas rigoureux, mais c'est déjà très bien d'avoir réussi à mener le raisonnement. Si j'en crois l'âge de créateur du sujet, il est approximativement en classe de seconde (s'il est scolarisé en France), il est donc inutile de parler de séries convergentes et de limites.

En effet je suis en première avec un an d'avance

Citation : Alexis_78

Citation : souls killer

Ce n'est peut-être pas rigoureux, mais c'est déjà très bien d'avoir réussi à mener le raisonnement. Si j'en crois l'âge de créateur du sujet, il est approximativement en classe de seconde (s'il est scolarisé en France), il est donc inutile de parler de séries convergentes et de limites.

En effet je suis en première avec un an d'avance

Cela ne change pas grand-chose : à moins de t'être renseigné de ton côté, tu n'as probablement pas entendu parler de séries.

Cette relation est la relation la moins crédible pour démontrer que <math>\(0.9999999... = 1\)</math>
<math>\(x = 0.999999....\)</math>
<math>\(10x = 9.999999....\)</math>
<math>\(10x = 9 + 0.999999....\)</math> Hors ici, on n'a plus une infinite de 9 mais une infinite - 1

Enfin c'est quand même très contreversé comme problème. On peut par exemple le démontrer aussi comme ça.
<math>\(1/3 = 0.333333....\)</math>
<math>\(0.999999.../3 = 0.333333....\)</math>
<math>\(Donc~1 = 0.999999...\)</math>

Bon faudrait pas relancer un débat comme dans les commentaires du tuto donné plus haut, mais je me permet quand même d'intervenir :

Citation : Quentin01

Hors ici, on n'a plus une infinite de 9 mais une infinite - 1

Le truc c'est que infinie -1 = infinie

Citation : Quentin01

Cette relation est la relation la moins crédible pour démontrer que <math>\(0.9999999... = 1\)</math>
<math>\(x = 0.999999....\)</math>
<math>\(10x = 9.999999....\)</math>
<math>\(10x = 9 + 0.999999....\)</math> Hors ici, on n'a plus une infinite de 9 mais une infinite - 1

Non, il y a toujours une infinité de 9. Prenons
<math>\(x=0,3333....\)</math>
<math>\(10x=3,333333....\)</math>
<math>\(10x-x=3,33333....-0,333333....\)</math>
<math>\(10x-x=3\)</math> //ici, normalement les sceptiques ne devraient pas etre d'accord
<math>\(9x=3\)</math>
<math>\(x=3/9\)</math>
<math>\(x=1/3\)</math>
Et la, tout le monde est d'accord avec le résultat....

@Alexis: comme dit plus haut, il y a un tuto ou c'est bien expliqué. En tout cas, c'est normal que cette égalité suscite des questions, il est vrai qu'elle heurte le bon sens. Moi-même, je l'accepte un peu "à contre-coeur" si on peut dire... Elle montre en tout cas qu'un nombre c'est assez compliqué, ce n'est pas juste "un truc qu'on écrit avec des chiffres".

Citation : leoleo

Bon faudrait pas relancer un débat comme dans les commentaires du tuto donné plus haut, mais je me permet quand même d'intervenir :

Citation : Quentin01

Hors ici, on n'a plus une infinite de 9 mais une infinite - 1

Le truc c'est que infinie -1 = infinie

Il faut néanmoins se méfier. Pourquoi pas faire un ptit tuto ou topic sur le forum parlant des pièges de l'infini?

Citation : henri27

Il faut néanmoins se méfier. Pourquoi pas faire un ptit tuto ou topic sur le forum parlant des pièges de l'infini?

Oui ce serait pas mal, pour montrer à tous quand est-ce que l'on a le droit d'utiliser des opérations avec l'infini... Je trouve que si on utilise trop l'intuition, comme avec 0.9999...=1, où on pourrait penser que la relation est fausse, on peut faire beaucoup d'erreur. Remettre tous ça au clair avec un forum peut-être utile.
Mais il faut faire attention, il faut quelqu'un qui est très à l'aise avec ces notions, sinon ça peut vite devenir ingérable de déceler le vrai du faux...

Un petit tour dans l'hotel de hilbert peut être ?

Très puissant cette hôtel. Peut il afficher complet?

Bon d'accord j'ai rien dit
J'aurais pas du me fier à ce que m'a dit mon professeur de maths là dessus qui m'avait dit ça, car c'est vrai que infini - 1 ne peut faire qu'infini ...

Citation : henri27

Très puissant cette hôtel. Peut il afficher complet?

Soit tu ne l'as absolument pas fait exprès, soit ta blague est très très fine. Mais mes félicitations, j'ai ri.
(Pour info, le corps des réels est dit complet, alors que l'ensemble des entiers naturels, comme les numéros de chambres de l'hôtel, ne l'est pas.)

Problème apparemment épineux que j'ai soulevé

Pas mal le truc de l'hotel !

Citation : ordiclic

Citation : henri27

Très puissant cette hôtel. Peut il afficher complet?

Soit tu ne l'as absolument pas fait exprès, soit ta blague est très très fine. Mais mes félicitations, j'ai ri.
(Pour info, le corps des réels est dit complet, alors que l'ensemble des entiers naturels, comme les numéros de chambres de l'hôtel, ne l'est pas.)

Euh...
Non, ça m'a pas effleuré l'esprit. Mais là ça m'intrigue. Je dois oublier un truc mais en quoi N n'es pas complet? Jusqu'à maintenant je ne pensais pas qu'il le soit mais la, j'ai un doute

Muni de la distance usuelle (la valeur absolue), <math>\(\mathbb N\)</math> est effectivement complet : en prenant une suite de Cauchy d'entiers et <math>\(\epsilon = \frac{1}{2}\)</math>, on se rend compte que la suite est stationnaire à partir d'un certain rang, donc convergente.