Bonjour,

Je m’intéresse beaucoup aux maths ces derniers, et s'il y a bien un truc qui me fascine et que j'utilise tout le temps c'est ca :

\(e^{ix} = cos(x) + isin(x)\)

J'ai appréhendé les nombres e et i, je comprend qu'un nombre imaginaire en exposant représente une rotation dans le plan complexe et non pas une multiplication répétée, mais je ne comprend pas ce lien intime entre i et e ... Pourquoi cette formule fonctionne avec e et non pas avec un autre nombre ? Est-ce un fait ou une définition à accepter ?

Merci d'avance pour votre aide !

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Edité par Red_Rikudo 23 février 2018 à 19:04:30

C'est une définition à accepter.  Faisons un parallèle avec une autre constante très célèbre.

Quand on dit que la surface d'un disque , c'est Pi * R², pourquoi ça marche avec Pi et pas avec un autre nombre ? Tout simplement parce qu'on a défini pi par pi = (Surface du disque de rayon R) / R².

La construction de e est très similaire. On a toutes les fonctions "exponentielles", définies par f(x) = puissance(a,x).

Et parmi toutes ces fonctions, il y en a une et une seule qui vérifie f'(x) = f(x). La valeur de a qui correspond à ça, notre ami Euler a choisi de lui donner un nom, il il l'a appelée la constante d'Euler, notée généralement e. 

On peut quand même justifier  la notation sans  que cela relève d'une démontration  

si je note \(f(x)=cos(x)+isin(x)\), un calcul de trigonométrie que je me dispense d'écrire ( ) va nous montrer que \(f(x+y)=f(x)f(y)\) et une exponentielle  est bien une fonction qui transforme une somme en produit.

Si maintenant on veut aller plus loin ( mais je ne sais pas à quel niveau tu es), il faut définir l'exponentielle complexe à partir des séries entières. On définit la série entière \(f(z)=\sum_0^{+\infty }\dfrac{z^n}{n!}\) . On montre que la série a un rayon de convergence infini, qu'elle est continue et qu'elle à les propriétés de l’exponentielle réelle en particulier \(f(z+z')=f(z)f(z')\) , on la baptise \(e^z\) avec formellement les mêmes possibilités de calculs que  pour l'exponentielle réelle. . Si on écrit donc  \(z=x+iy\), on a alors \(e^z=  e^{x+iy}=e^x.e^{iy}\).
Il suffit donc pour connaitre l'exponentielle sur \(\mathbb{C} \) d'étudier la fonction \(x \rightarrow  e^{ix}\).

Et en considérant la fonction sous sa forme série entière \(f(ix)=\sum_0^{+\infty }\dfrac{(ix)^n}{n!}\) , on fait apparaitre le développement en série entière de \(\cos(x)\) et de \(\sin(x)\) justifiant ainsi \(e^{ix}=cos(x)+isin(x)\).

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Edité par Sennacherib 23 février 2018 à 21:00:52

(J'avais tapé ce qui suit avant le message de Sennacherib, donc c'était pour compléter celui de tbc92.)

Voici une explication pour aller plus loin et bien montrer le lien entre l'exponentielle et les fonctions trigonométriques. Ce n'est pas rigoureux du tout, c'est juste pour montrer l'idée intuitive, disons.

Par définition la fonction exponentielle est égale à sa dérivée et fait 1 en 0. En terminale, par exemple, on démontre que si une telle fonction existe, alors elle est unique. Mais on ne démontre pas l'existence car pour ça il faudrait construire l'exponentielle, ce qui nécessite des notions post-bac.

Voici comment on définit l'exponentielle :

\[ f(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \dfrac{x^5}{120} + \dfrac{x^6}{720} + \cdots \]

(Il faudrait justifier que cette somme infinie existe pour tout x. C'est vrai, mais je suis obligé ici de l'admettre.)

À chaque terme, on incrémente la puissance, et on multiplie le dénominateur précédent par cette puissance. On voit d'ailleurs que les deux premiers termes sont des cas particuliers qui suivent cette règle. Dérivons ça (il faudrait donner un sens à la dérivée d'une somme infinie de fonctions − la théorie existe, je l'admets) :

\[ f'(x) = 0 + 1 + \dfrac{2x}{2} + \dfrac{3x^2}{6} + \dfrac{4x^3}{24} + \dfrac{5x^4}{120} + \dfrac{6x^5}{720} + \cdots \]

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Edité par robun 23 février 2018 à 21:35:41

Salut, je profite vous exposiez la définition en série de ces fonctions, pour modestement demander si c'est à cause de ça qu'en physique, un sin, cos, exponentielle, log ..etc , ne prennent pas de grandeurs physiques en argument ?

Merci pour vos réponses ! Je suis déjà bien éclairé sur le principe Pour la définition avec des séries entières je vois vite fais mais ça reste encore flou car je n'ai pas encore les bagages nécessaires pour comprendre tout ça puis-ce que je suis un première S :/ Mais merci quand même je suis éclairé !

Arousme : peux-tu te relire ? Je pense que tu n'as pas écrit ce que tu voulais dire (car si, un sinus ou une exponentielle peut très bien prendre des grandeurs physiques en argument, par exemple dans la loi de Planck il y a une exponentielle de hν quelque chose, ou plus simplement la loi des sinus en optique).

Red_Rikudo : pour l'instant, je pense que tu dois juste considérer que les séries entières sont des espèces de limites de polynômes.

En première S, on voit les suites arithématiques et géométriques, et on apprend à calculer la somme de leurs termes, par exemple :

\[ 1 + q + q^2 + \cdots q^n = \dfrac{1-q}{n+1}{1-q} \]

Si q est strictement inférieur à 1 en valeur absolue, et si on fait tendre n vers l'infini, alors \( q^{n+1} \) tend vers 0, du coup cette somme a une limite :

\[ 1 + q + q^2 + \cdots q^n + \cdots = \dfrac{1}{1-q} \]

La série qui définit l'exponentielle, c'est un peu la même chose. On pourrait considérer le polynôme de degré 6 suivant :

\[ f(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \dfrac{x^5}{120} + \dfrac{x^6}{720} \]

Mais pour définir l'exponentielle, on a besoin d' « aller jusqu'à l'infini ». Ce qu'on appelle série entière, c'est une sorte de polynôme de degré infini...

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Edité par robun 24 février 2018 à 18:11:23

Dac merci pour votre éclaircissement !

Le vocabulaire était peut-être mal choisie. Je voulais dire "grandeurs physique avec dimension" au lieu de "grandeurs physiques". C'est vrai que je fais pas trop de distinction entre les deux. Tu en fais une ? 

Cela dit, on m'a toujours dit qu'écrire un truc du style exp(x) avec x une longueur exprimée en mètre (par exemple), ça n'avait pas de sens. C'est également valable pour les logs, sin, cos ...etc. N'ayant jamais entendu parler d'un formalisme associé à tout ça, je me demande si c'est le fait qu'une fonction admette un développement en série entière qui fait qu'elle ne prend pas de grandeurs physiques en argument (grandeurs physique avec une dimension non nulle si tu préfère)

robun a écrit:

Arousme : peux-tu te relire ? Je pense que tu n'as pas écrit ce que tu voulais dire (car si, un sinus ou une exponentielle peut très bien prendre des grandeurs physiques en argument, par exemple dans la loi de Planck il y a une exponentielle de hν quelque chose, ou plus simplement la loi des sinus en optique).

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Edité par robun il y a moins de 30s

Je pense que  arousme a voulu dire que on ne prend jamais le log ou l'exponentielle d'une grandeur physique seule.Dans ce sens je pense qu'il n'a pas tort et donc  je ne suis pas trop d'accord avec toi et tes exemples supposés contradictoires .

Ainsi dans la loi de Planck, on ne prend pas l’exponentielle de \(h\nu\) mais ce   qui intervient c'est en fait le rapport \(\dfrac{h \nu}{kT}\) et c'est un nombre adimensionnel ,rapport de deux énergies. Je te mets au défi  de trouver une loi où une grandeur physique mesurée avec un système d'unité cohérent ( disons S.I  pour faire simple) où l' on prenne directement le log ou l'exponentielle ( ou toute fonction transcendante) d'une grandeur Physique autrement que dans une expression  où intervient un rapport adimensionnel de grandeur  mesurables ou avec des constantes de dimension ad-hoc.

autre exemple avec l'exponentielle 

chute de pression dans l'atmosphère: \(P=P_0 e^{-z/z_0}\)

avec le logarithme en thermodynamique \(W=RT_0\ln(\frac{P}{P_0})\) , en électromagnatiseme c'est le rapport de deux longueur qui intervient etc...

une fonction plus compliquée dans la diffusion montrant le rôle d'une constante:\(n=n_0(1-erf( \frac{x^2}{4Dt}))\) où \(D\) coefficient de diffusivité a évidemment pour unité \(m^2 s^{-1}\). En fait si l'expression n'est pas adimensionnelle, c'est qu'elle dépend d'une constante dont les dimensions rendent l'expression dimensionnelle.

Bref , arrêtons là, je dirais que, si une expression  ayant une dimension intervient comme argument d' une fonction transcendante,  en attendant un contre-exemple, la loi est fausse 

Lorsque la fonction n' est pas transcendante mais irrationnelle, ce qui est sous le radical est toujours adimensionnel ou à une puissance telle que la racine donne une puissance entière des unutés.

Exemple banal \(v=\sqrt{2gh}\)  vitesse en chute libre. Ce qui est sous le radical est homogème à \(L^2s^{-2}\) d'où en prenant la racine \(Ls^{-1}\)

On peut penser que ton exemple des sinus contredit ce que je viens de dire.  En fait non, au sens des grandeurs physiques, l'angle en radian caractérise une orientation, on le baptise radian mais en fait c'est adimensionnel puisque on peut le définir   à partir de l'arc de cercle avec \(s=R \theta\), donc le radian c'est \(L/L\) et donc on ne fait que prendre le sinus d'un nombre adimensionnel. (NB : c'est ainsi qu'il est défini dans le système SI) 

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Edité par Sennacherib 24 février 2018 à 19:15:13

Arousme, tu as raison. Si x est une distance ou une masse, ou une durée, je ne vois vraiment aucun cas où on calculera sin(x) ou cos(x) ou exp(x) ou log(x). Si x est le rapport entre 2 durées, on a des cas où on va calculer exp(x) : Mon capital augmente de 1% par mois, combien vaut-il au bout d'1 an. 

On va passer par le calcul de exp(12) ... qui est le rapport entre 1 an et 1 mois.

Les fonctions sin ou cos traitent des angles. De mon point de vue, un angle est une grandeur physique. Mais c'est question de point de vue.

D'acc, merci pour ces infos. Du coup yaurait une preuve formelle que les fonctions transcendantes prennent que des arguments adimensionnelles ?

Ah OK, je comprends ! C'était plus une question de dimension que de grandeur proprement dite.

Concernant le sinus et le cosinus, j'estime comme tcb92 que les angles sont des grandeurs, mais elles n'ont pas de dimension donc là aussi ça rejoint la remarque.)

Il n'y a pas de preuve. C'est absurde de demander des preuves, mais que peut être une exponentielle de longueur? Que peut être une exponentielle de température? Ca n'a juste pas de sens.

Et puis ça marche aussi avec des fonctions non transcendantes. Qu'est une longueur à la puissance mille? (le produit de mille longueur ). C'est juste que ça n'a pas de sens, tu as le droit de le faire mais ça ne sert à rien. (tu peux sauter d'une falaise, le résultat est pas interessant, c'est un peu près pareil.).

J'ai trouvé une petite astuce : je ne sais pas si on peut appeler ça une preuve, mais en tout cas ça montre bien que l'exponentielle ne prend que de grandeurs adimensionnées.

Le point crucial est de se dire qu'en différentiant, on conserve la dimension d'une grandeur. Supposons donc qu'on calcule \(e^x\) avec \(x\) une certaine grandeur.

On a : \(\mathrm{d} e^x=e^x\mathrm{d} x\). Or \(\mathrm{d} e^x\) et \(e^x\) ont la même dimension. \(\mathrm{d} x\) est donc adimensionné et a foritiori, \(x\) l'est aussi.

Pour les autres fonctions transcendantes, on peut également s'en sortir de la sorte.

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Edité par Poco_ 27 février 2018 à 22:36:58

Ah oui en effet. Merci beaucoup pour la réponse :) 

D'ailleurs est-ce que quelqu'un sait si ces histoires de grandeurs physiques ont été formalisées ? Je n'en connais pas, mais il existe peut-être des théorèmes mathématiques "d'analyse dimensionnelle" où on a eu besoin de trouver une traduction en langage mathématique non ? 

Arousme a écrit:

mais il existe peut-être des théorèmes mathématiques "d'analyse dimensionnelle" où on a eu besoin de trouver une traduction en langage mathématique non ? 

théorème de Vaschy-Buckingham, un  pilier de la théorie mathématique  de  l'analyse dimensionnelle   

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Edité par Sennacherib 28 février 2018 à 13:45:27

Ah bah je connaissais pas, je vais aller voir ça. Merci