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Pourquoi pas de factorisation?

Sujet résolu
    27 juin 2019 à 14:41:43

    Bonjour à tous je me questionnais.

    Voici quelques années qu'on me dit qu'il n'existe pas d'identité simple(notamment de factorisation) pour a^2+b^2. Mais je me demandais quel était le raisonnement derrière l'affirmation? En effet certaine expressions développées ne semblent pas non plus facilement fzctorisables au premier abord(ex:a^2-b^2 qui pourtant est égal à (a-b)(a+b)). Mais ne peut-on pas factoriser l'expression en a(a+(b^2)/a? Dans ce cas là devrzis-ton dire qu'il n'existe pas de factorisation de l'expression n'impliquant pas de quotient? Et une fois qu'on sait ça, y a-t-il une méthode générale pour déterminer si une expression est fzctorisable ou pas?

    Merci d'avance, n'hésitez pas à me faire reformuler la question si des points ne semblent pas clairs.

    Merci d'zv

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      27 juin 2019 à 15:41:40

      Il y a un nombre particulier quand on parle de multiplication, ou de factorisation, c'est 0. 

      Si tu pars de cette fonction f(a,b) = a²+b², et que tu la factorises, f(a,b) = g(a,b)*h(a,b) , on sait que f(a,b) vaudra 0 dès que g(a,b) = 0 ou bien h(a,b)=0

      Or, f(a,b) ne vaut jamais 0, sauf dans un cas : quand a=0 et b=0 ; donc il faudra que g et h vérifient la même propriété, il faut que g(a,b) ne s'annule jamais (sauf si a=b=0).   Si je recherche un polynome (non constant) de degré 1, qui ne s'annule jamais sauf pour a=b=0, ... il n'y en a pas.

      La démarche générale pour chercher si un POLYNOME est factorisable est basé sur ce nombre 0. On dit en général qu'on cherche les racines.

      On cherche les valeurs ou les combinaisons de valeurs qui donnent 0, et ils vont entrer dans notre factorisation :

      a²-b² vaut 0 dès que a-b=0 , donc a²-b² peut s'écrire sous la forme a²-b² = (a-b) multiplié par un autre polynôme.

      Idem, a²-b² vaut 0 dès que a+b=0 , donc a²-b² peut s'écrire sous la forme a²-b² = (a+b) multiplié par un autre polynôme.

      Tout ce que je t'ai raconté, c'est vrai. Mais un jour, on va te parler des nombres complexes, et on va te dire que a²+b² peut se factoriser. Mais c'est une autre histoire.

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        27 juin 2019 à 15:45:36

        Wouaw merci ça c'est vraiment une réponse très concrète et complète ! Merci merci beaucoup et bonne journée ! 

        Par contre du coup, j'aurais besoin d'une dernière précision. a(a+(b^2)/a) n'est pas considéré comme une factorisation ?

        Ah je viens d'y réfléchir, la réponse est peut-être non? Étend donné que pour a=0 on a une division par 0

        -
        Edité par remidejaegere 27 juin 2019 à 16:45:44

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          27 juin 2019 à 17:07:19

          Oui, la division par 0 fait que ça ne marche pas.

          On pourrait aussi dire par exemple : a²+b² = 5*(a²/5+b²/5)  ; plus de problème de division par 0, ... et on a factorisé :)

          Mais ce n'est pas ce qu'on entend par factorisation.

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            1 juillet 2019 à 20:46:31

            tbc92 : ton raisonnement suggère que  \( a^4 + b^4 \) n'est pas factorisable dans R (en utilisant le même argument comme quoi il est non-nul si a et b ne sont pas tous deux nuls).

            Pourtant \( a^4 + b^4 = (a^2 + \sqrt{2}ab + b^2)\;(a^2 - \sqrt{2}ab + b^2) \)

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            Edité par robun 1 juillet 2019 à 20:49:22

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              1 juillet 2019 à 20:56:59

              @robun : dans son raisonnement il essaie de factoriser en facteur de degré 1, ici tu factorises en facteur de degré 2. Effectivement, son raisonnement ne marche que pour des facteurs de degré 1.

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                1 juillet 2019 à 22:06:37

                Ah oui, OK ! Si on veut généraliser à a⁴+b⁴, il faut des polynômes de degré 2 qui ne s'annulent jamais (sauf en a=b=0) et ça existe effectivement.

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                Pourquoi pas de factorisation?

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