PPCM et divisibilité

9 janvier 2011 à 19:00:43

Salut,
Après avoir fait un p'tit exercice sur les PPCM etc. j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est correct (question rédaction toussa).
Voici l'énoncé :

Citation

n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. a) Démontrer que les entiers naturels n(n²-1) et n(n+1)(n+2) sont divisibles par 6.

b) Démonter que PGCD (n+2;n-1) = PGCD (n-1;3)

c) En déduire que si n-1 n'est pas multiple de 3, alors les entiers n+2 et n-1 sont premiers entre eux.

d) Déterminer PPCM (n+2;n-1) selon que n-1 est multiple ou non de 3.

2. On note n(n²-1) = 6x; n(n+1)(n+2) = 6y et n(n²-1)(n+2) = 6z.
Démontrer que z est le PPCM de x et y lorsque n-1 n'est pas divisible par 3.

3. Démontrer que lorsque n-1 est divisible par 3, le PPCM de x et y est le quotient de z par 3.

Mon travail :

1)a) Je ne détaillerai pas cette question c'est long et pas très intéressant, mais il faut traiter n(n+1)(n+2) et n(n²-1) selon les restes de n dans sa division par 6.

b) E = {Ensemble des diviseurs de n+2 et n-1} (si vous avez une notation formelle pour ça d'ailleurs, merci).
F = {Ensemble des diviseurs de n-1 et 3}

<math>\(d \in E\)</math>, donc d divise toutes les combinaisons linéaires de <math>\(n+2\)</math> et <math>\(n-1\)</math>, en particulier <math>\(n+2 - (n-1)\)</math>, c'est à dire 3.
Donc <math>\(E \subset F\)</math>.

<math>\(d' \in F\)</math>, donc d' divise toutes les combinaisons linéaires de <math>\(n-1\)</math> et <math>\(3\)</math>, en particulier <math>\(n-1 + 3\)</math> c'est à dire n<math>\(+\)</math>2.
Donc <math>\(F \subset E\)</math>, soit <math>\(E = F\)</math>. Ces deux ensembles ont donc le même plus grand élément. <math>\(PGCD(n+2; n-1) = PGCD(n-1; 3)\)</math>

c) 3 ne divise pas n-1, donc n-1 et 3 premiers entre eux car 3 est premier. On a donc <math>\(PGCD(n+2; n-1) = PGCD(n-1; 3) = 1\)</math>

d) 3 ne divise pas n-1 : Dans ce cas <math>\(PPCM(n+2; n-1) = (n+2)(n-1)\)</math>

3 divise n-1, donc <math>\(PGCD(n-1; 3) = PGCD(n+2; n-1) = 3\)</math> d'où <math>\(PPCM(n+2; n-1) = \frac{(n+2)(n-1)}{3}\)</math>

2)<math>\(PPCM(x;y) = \frac{1}{6} \times PPCM[n(n^2-1); n(n+1)(n+2)]\)</math>

<math>\(= \frac{1}{6} \times PPCM[n(n-1)(n+1); n(n+1)(n+2)]\)</math>

<math>\(= \frac{n(n+1)}{6} \times PPCM(n-1; n+2)\)</math>

<math>\(= \frac{n(n+1)(n-1)(n+2)}{6} = \frac{n(n^2-1)(n+2)}{6} = \frac{6z}{6} = z\)</math>

3) <math>\(PPCM(x;y) = \frac{1}{6} \times PPCM[n(n^2-1); n(n+1)(n+2)]\)</math>

<math>\(= \frac{n(n+1)}{6} \times PPCM(n+1; n+2) = \frac{n(n+1)}{6} \times \frac{(n+2)(n-1)}{3}\)</math>

<math>\(= \frac{n(n^2-1)(n+2)}{18} = \frac{6z}{18} = \frac{z}{3}\)</math>

Merci à vous !

Anonyme

9 janvier 2011 à 19:17:06

Citation : colbseton

1)a) Je ne détaillerai pas cette question c'est long et pas très intéressant, mais il faut traiter n(n+1)(n+2) et n(n²-1) selon les restes de n dans sa division par 6.

Tu as plus simple : parmi trois entiers consécutifs, tu en as forcément au moins un pair et un multiple de 3. Donc le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.
Or, <math>\(n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)\)</math>

Citation : colbseton

b) E = {Ensemble des diviseurs de n+2 et n-1} (si vous avez une notation formelle pour ça d'ailleurs, merci).
F = {Ensemble des diviseurs de n-1 et 3}

<math>\(d \in E\)</math>, donc d divise toutes les combinaisons linéaires de <math>\(n+2\)</math> et <math>\(n-1\)</math>, en particulier <math>\(n+2 - (n-1)\)</math>, c'est à dire 3.
Donc <math>\(E \subset F\)</math>.

<math>\(d' \in F\)</math>, donc d' divise toutes les combinaisons linéaires de <math>\(n-1\)</math> et <math>\(3\)</math>, en particulier <math>\(n-1 + 3\)</math> c'est à dire n<math>\(+\)</math>2.
Donc <math>\(F \subset E\)</math>, soit <math>\(E = F\)</math>. Ces deux ensembles ont donc le même plus grand élément. <math>\(PGCD(n+2; n-1) = PGCD(n-1; 3)\)</math>

Tu n'as pas quelque part dans ton cours la règle : <math>\(\text{pgcd}(a,b) = \text{pgcd}(a-b,b)\)</math> ?
Tu l'as redémontrée ici, mais si vous l'avez déjà fait en cours, pas la peine, utilise-la

.

Pas spécialement de commentaires pour la suite sinon, ça m'a l'air correct

.

Ah, et au fait :

Citation : colbseton

E = {Ensemble des diviseurs de n+2 et n-1} (si vous avez une notation formelle pour ça d'ailleurs, merci).

<math>\(E = \{ m \in \mathbb{N}, m|n+2 \text{ et } m|n-1\}\)</math>

candide

10 janvier 2011 à 0:06:56

Citation : colbseton

Je ne détaillerai pas cette question c'est long et pas très intéressant, mais il faut traiter n(n+1)(n+2) et n(n²-1) selon les restes de n dans sa division par 6.

tiens et comment démontrerais-tu que le produit de 42 entiers consécutifs est divisible par factorielle 42 ?

leoleo

10 janvier 2011 à 21:38:07

Citation : candide

Citation : colbseton

Je ne détaillerai pas cette question c'est long et pas très intéressant, mais il faut traiter n(n+1)(n+2) et n(n²-1) selon les restes de n dans sa division par 6.

tiens et comment démontrerais-tu que le produit de 42 entiers consécutifs est divisible par factorielle 42 ?

Je crois que tu viens de m'apprendre un truc là... Ou pas

colbseton

11 janvier 2011 à 18:29:25

Citation : Cyprien_

Tu n'as pas quelque part dans ton cours la règle : <math>\(\text{pgcd}(a,b) = \text{pgcd}(a-b,b)\)</math> ?
Tu l'as redémontrée ici, mais si vous l'avez déjà fait en cours, pas la peine, utilise-la :).

Non, il ne me semble pas, on a juste fait des trucs comme pgcd(ka;kb).

Citation : candide

tiens et comment démontrerais-tu que le produit de 42 entiers consécutifs est divisible par factorielle 42 ?

Je ne sais pas, mais ça m'intéresse.

Artiks

13 janvier 2011 à 23:55:13

Comme Cyprien l'a dit : parmi n entiers consécutifs, il y en a un qui est divisible par n.
Donc le produit de 42 entiers consécutifs est divisible par 1, 2, 3, ..., 42. Et donc par 42!

édité : oups, merci. J'ai écrit n'importe quoi.
Du coup ça m'intéresse aussi

candide

14 janvier 2011 à 1:00:57

Citation : Artiks

Comme Cyprien l'a dit : parmi n entiers consécutifs, il y en a un qui est divisible par n.
Donc le produit de 42 entiers consécutifs est divisible par 1, 2, 3, ..., 42. Et donc par 42!

Non, cet argument n'est pas bon, il te permet juste de dire que le produit de 42 entiers consécutifs est divisible par le ppcm des 42 premiers entiers. Ce n'est pas parce qu'un nombre est divisible par a et b qu'il est divisible par le produit ab. Par exemple, 24 est divisible par 8 et par 12 mais pas par 96.

Typen

15 janvier 2011 à 11:42:08

Citation : candide

Citation : colbseton

Je ne détaillerai pas cette question c'est long et pas très intéressant, mais il faut traiter n(n+1)(n+2) et n(n²-1) selon les restes de n dans sa division par 6.

tiens et comment démontrerais-tu que le produit de 42 entiers consécutifs est divisible par factorielle 42 ?

On sait que <math>\(C^{n}_{42} = \frac{(n-41)(n-40)\ldots(n-1)(n)}{42!}\)</math> est entier, dès lors,
<math>\(42! \left| \prod^{n}_{i = n-41} i \right.\)</math>

Anonyme

15 janvier 2011 à 11:52:31

Et pourrais-tu démontrer que <math>\(\binom{n}{k}\)</math> est entier ?

(D'ailleurs, fais attention, si tu utilises l'ancienne notation pour les coefficients binomiaux, "k parmi n" s'écrit <math>\(\mathrm{C}_n^k\)</math>.)

Typen

15 janvier 2011 à 12:18:33

Citation : Cyprien_

Et pourrais-tu démontrer que <math>\(\binom{n}{k}\)</math> est entier ?

(D'ailleurs, fais attention, si tu utilises l'ancienne notation pour les coefficients binomiaux, "k parmi n" s'écrit <math>\(\mathrm{C}_n^k\)</math>.)

J'utilise sa signification en combinatoire.

On sait que <math>\(P^n_k\)</math> est entier, seulement, on sait que <math>\(P^n_k\)</math> compte en fait toutes les combinaisons avec toutes les permutations dans chacune d'elle. Il y a un nombre entier de combinaisons, dès lors.
<math>\(\frac{P^n_k}{k!} = C^n_k\)</math> est entier.

candide

15 janvier 2011 à 14:11:21

Citation : Typen

On sait que <math>\(C^{n}_{42} = \frac{(n-41)(n-40)\ldots(n-1)(n)}{42!}\)</math> est entier, dès lors,
<math>\(42! \left| \prod^{n}_{i = n-41} i \right.\)</math>

Oui, c'est à ça que je pensais (il faudrait aussi traiter le cas d'un produit contenant 0 ou formé uniquement de nombres négatifs, lequel se ramène au cas des positifs).

Je pense qu'il existe une autre méthode utilisant la formule de Legendre (donnant la valuation p-adique de factorielle n) et utilisant que la somme des quotients est inférieure au quotient de la somme.