Salut, j'essaie de comprendre la preuve de la transformation de Lorentz proposé sur un blog ici :  http://webinet.cafe-sciences.org/articles/la-relativite-lumineuse-meme-sans-lumiere/  

Mais je dois dire que n'ayant pas fait spécialement de physique (à part un peu de mécanique newtonienne), j'ai bien du mal à saisir tout ça.

Je ne comprend pas déjà pas bien ce que sont x, x', t et t' . Si ce que j'ai compris est bon, x est l’application qui associe à un élément z s'écrivant le révérenciel R' comme  z= l'*Ux , légalement l tel que dans le révérenciel R, z=l*Ux. Inversement pour l'application x'. Et pour t et t' je ne sais pas trop. 

Ensuite je ne comprend pas ce que signifie le fait que l'espace soit homogène. J'ai essayé de me renseigner un peu. Ce que j'ai compris c'est qu'un espace est homogène pour une action de groupe si le groupe agis de façon transitive. Mais n'ayant aucune connaissance en théorie des groupes, je serais bien incapable de donner une interprétation physique de la notion, et de quel groupe il s'agit, et de quel action de groupe on parle. De plus je ne vois pas bien ce que sont a(V) , b(V) , c(V) et d(V) . Des applications linéaires ? Et si oui, je ne vois pas comment on a leurs existences. Pour la suite je ne suis pas forcément allé plus loin, puisque le 2) découle directement du 1) , et que le 4 nécessite d'avoir compris cette histoire d'homogénéité de l’espace. 

(x,t) et (x',t') sont les coordonnées spatio-temporelles d'un même événement dans deux repères inertiels R et R' , R' étant en mouvement uniforme à la vitesse V par rapport à R.
Le blog traite le cas simple d'un mouvement relatif selon Ox seulement. ( cette démarche présentée comme originale en 2008 est pourtant bien antérieure. L'auteur ne semble l'avoir découvert que en 2012, voir l'edit en fin de blog où il renvoie à un article  de 1975  .  Personnellement je l'ai découvert en référence d'un ouvrage de 1ère édition 2005  : Relativité restreinte Claude Semay  Bernard Silvestre-Brac chez Dunod , chapitre 6 entièrement consacré à cette approche) .
 
Il faut comprendre l'approche comme une généralisation de la transformation bien connue de Galilée:
x'=x-vt et t'=t, démarche qui postule a priori que le temps est le même dans tous les repères en mouvement.

La transformation de Lorentz est une généralisation d'un changement galiléen de coordonnées entre deux repères inertiels où on ne postule pas a  priori que t=t' mais que t' peut aussi dépendre de x.
La démarche originelle était inverse et  consistait , suite aux expériences sur la vitesse de la lumière c, de partir de l'hypothèse que c  était  indépendante des repères en mouvement et d'en déduire les transformations compatibles avec ce constat, avec la conséquence  fondamentale  de l'interdépendance des variables d'espace et de temps.

Ici on postule  cette interdépendance a priori et moyennant des hypothèses " raisonnables" sur la structure de l'espace-temps, on montre que la transformation la plus générale possible entre repères inertiels compatible  avec ces hypothèses conduit nécessairement à l’existence d'une vitesse limite.
Les hypothèses sont en fait quatre dans le cas général en trois dimensions:

homogénéité de l'espace-temps : je ne pense pas qu'il faille aller chercher le concept très général des actions de groupe en maths pour en comprendre le sens physique. On postule ce qui peut paraître évident au sens commun, mais qui pourrait ne pas être, que les lois de la physique sont invariantes par translation. Les lois de la nature sont les mêmes à  Paris et à New-York et une loi vraie aujourd'hui le reste à un instant ultérieur.

 isotropie de l'espace; cette hypothèse n'est pas mentionnée dans l'article car on travaille ici avec une seule dimension spatiale. Elle est nécessaire dans le cas général. L'hypothèse nous dit donc qu'en un lieu les lois de la nature ne dépendent pas de l'orientation.

Structure de groupe ds transformations: c'est une conséquence directe  de l'hypothèse d'équivalence de tous les référentiels inertiels  . Cela veut dire que les lois de transformations sont internes ( la composition de deux transformation de Lorentz est une transformation de Lorentz) , possèdent une transformation identique, qu'il existe une transformation inverse et que la loi est associative.

Causalité: la relativité restreinte respecte le principe de causalité. 

(NB: je ne comprends pas trés bien pourquoi on avance ici l'hypothèse de synchronisation des horloges qui ne me  semble intervenir qu'implicitement dans la démarche et cette question fait aussi partie de la construction originelle de la relativité. C'est Einstein  lui-même qui le premier a décrit l'expérience de pensée permettant de synchroniser les horloges immobiles dans  chaque référentiel  d'inertie) 

Les deux premières hypothèses permettent de justifier la linéarité des transformations de Lorentz.
Le respect de la structure de groupe permet d' établir des relations nécessaires entre les coefficients des relations linéaires.
Le principe de causalité est respecté si on choisit négatif le paramètre appelé k dans l'article .

 La conclusion est qu'il existe une vitesse limite unique  comme conséquence  directe des seules hypothèses faites sur la structure de l'espace temps.  L' intérêt de cette démarche est   de constater que cette existence est une "simple" conséquence d'hypothèses générales sur la structure posulée de l'espace et du temps mais elle n'améne rien de neuf sur la théorie de la relativité sinon de dire que le c actuel pourrait être autre . 

Mais cette démarche qui met en évidence que   la structure de l'espace-temps contient implicitement l'existence d'une vitesse limite est un exercice a posteriori, difficilement imaginable dans le contexte de l'époque  où la relativité a émergé.
La donnée de référence remettant en cause les fondements de la physique "classique" était bien l'invariance expérimentalement constatée  de la vitesse de la lumière ( Michelson) et Poincaré, qui a travaillé avec Lorentz et  qui est cité n'a pas abordé la question réellement sous l'angle qu'on semble vouloir lui attribuer . 
Dans le contexte d'avant  1905, on ne pouvait pas postuler a priori   que les temps t et t' étaient  différents pour en déduire l'existence d'une vitesse limite. Constatant l'invariance de la vitesse de la lumière, on ne pouvait que chercher comment rendre compatible cette invariance avec une transformation entre repères inertiels  ne remettant pas en cause en particulier les lois de Maxwell.  Et de constater alors que cela impliquait que l'espace et le temps n'était plus des variables indépendantes avec toutes le conséquences vérifiées ensuite par des expériences multiples. 

En conclusion je pense que cet exercice de "reconstruction" a posteriori  de la théorie a un intérêt pratique limité et n'est , sans doute pour cela, que  rarement présenté dans les ouvrages sur la relativité restreinte. L'intérêt de la démarche est quand même de montrer que la remise en cause hypothétique  de c comme limite absolue ne serait pas nécessairement une remise en cause de la théorie actuelle et que la relativité repose en premier lieu sur la nature de l'espace et du temps tels que nous les imaginons.   

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Edité par Sennacherib 15 mars 2018 à 11:33:52

Salut Merci pour ta réponse. Cela dit je dois bien avouer que je suis pas sur d'y voir beaucoup plus clair. 

De ce que j'ai compris : Soit un événement quelconque (je suis pas sur de savoir ce que c'est qu'un événement) de l'espace. Soit deux révérenciel galiléen R et R' avec V la vitesse (constante) de R' par rapport à R.

Cet événement est caractérisé dans le référentiel R par un un ensemble de couples A= { (x(t),t) | t } et dans R' par un ensemble de couple B={ ( (x'(t'),t') | t'  }. L'idée c'est que chaque couples de A correspond à un unique couple de B non ? Et on cherche ensuite comment relier ses couples.

L'auteur du blog dit ensuite qu'il existe 4 constantes (a,b) et (c,d) (si j'ai bien compris) tel que : 

Pour tout (x(t),t) de A , il existe (x'(t'),t') dans B tel que : x'(t')=a*x(t)+b*t et t'=c*t+d*x(t) . Pour l'instant je ne dis pas de bêtises ? Mais du coup comment sait-on que ça c'est vrai ? L'auteur le justifie par "homogénéité de l'espace et du temps". Mais pourquoi l'invariance des lois physiques dans l'espace et dans le temps justifie ça ? 

Je ne comprend pas l'étape suivante, il parle de O' et lui associe une coordonnée x(O')=0 et un temps t'(O')=0 . O' c'est un point, pas un événement ...

Quant à la troisième étapes, que signifie exactement "invariance par réflexion dans un miroir" ?

1-ce que tu appelles un couple A et B correspond en fait au repérage du même événement dans deux référentiels différents ce n'est pas autre chose qu'un changement de coordonnées dans l'espace-temps et non plus dans l’espace. La différence fondamentale est donc que ici le temps joué un rôle simailaire et dépend du référentiel. Les horloges dans chaque référentiel  battront une seconde différente et un même événement ne s 'y produit pas au même instant  .

2- je pense qu'une certaine incompréhension de l'article peut aussi venir d'une volonté d'y être trop simple. La vulgarisation qui passe sous silence certaines choses par souci d'accessibilité  ... conduit parfois à en sortir avec plus questions que de réponses si on commence à décortiquer à ce qui est raconté.

La compréhension du rôle de l’homogénéité de l'espace se comprend peut être un peu mieux avec l'explication suivante ( que je simplifie déjà par rapport à l'article de référence de 1975  )
On postule   qu'il existe des fonctions de transformations "quelconques" entre les coordonnées soient  \(x'=F_x(x,t), t'=F_t(x,t)\).

Un changement infinitésimal de coordonnées  dans R \(x \rightarrow x+dx,\; t \rightarrow t' \)   va se traduire de façon tout à fait générale par les relations différentielles donnant les variations dans \(R'\):

\( dx'=\dfrac{\partial F_x }{\partial t}dt + \dfrac{\partial F_x }{\partial x }dx    \)

\( dt'= \dfrac{\partial F_t}{\partial t }dt + \dfrac{\partial F_t}{\partial x }dx  \) 

L'homogénéité de l'espace-temps  signifie que, en quelque point de l'espace et du temps où on se place, le résultat de la transformation \(dx',dt'\) ne peut pas dépendre des coordonnées du  point où on l'applique donc les  coefficients de \(dx,dt\) ne doivent pas dépendre  de \(x,t\) et sont donc des constantes dépendant seulement de paramètres caractéristiques de la transformation qu'il va s'agir de déterminer.( on suppose implicitement par la suite que ces coefficients dépendent uniquement de la seule vitesse relative \(V\) entre R et R'.
On part donc   en reprenant les notations de l'article des deux relations   :

\( dx'=a .dx + b. dt \)

\( dt'= c.dt  + d.dx \) 
Ce qui donne par intégration \(x'=a.x+b.t+e, t'=c.t+d.x +f\).
On se limite alors dans la preuve à des transformations homogènes c'est à dire ayant une origine spatio-temporelle commune d'où \(e=f=0\) ce qui n'est pas dit ( le cas non homogène peut se traiter de façon un peu plus compliquée.)
Donc finalement \(x'=a.x+b.t (1) , t'=c.t+d.x (2)\).

3- tu n'as pas tort de faire la remarque sur O' ce qui est fait est algébriquement juste mais mal expliqué. Il faut dire que on considére comme événement un objet immobile dans \(R'\) placé en \(x'=0\) dont seule la coordonnée temporelle \(t'\) varie. Cela suffit à déduire donc d'aprés (1) que nécessairement \(V=-b/a\).En mettant alors \(a\) en facteur, on obtient bien \(x'=a(x-\frac{V}{a}t) , t'=a(Ct+Ddx )\) où \(aC=c, aD=d\).

4 L'hypothèse du miroir, c'est postuler sans le dire l'isotropie de l'espace, comme je l'ai mentionné dans mon premier post. Ici,en une dimension spatiale, cela revient à supposer que les équations de passage de \(-x\) à \(-x'\) et de \(-t\) à \(-t'\) sont invariantes en utilisant la vitesse relative  \(-V\), d'où les relations indiquées entre les coefficients.

5- les coefficients qui restent  à déterminer le sont ensuite en vérifiant que la transformation est  une loi de groupe. C'est le point le plus "technique" de la preuve mais c'est finalement de l'algébre élémentaire. Et c'est bien cette structure de groupe qui conduit au résultat final classique, qu'il est en fait usuel d'écrire différemment de ce qui est fait dans l'article .
On met en évidence le coefficient bien connu de la relativité restreinte \(\gamma= \dfrac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}\) ( homogénéité sous le radical et non le \(V^2/c\) du coefficient g de l'article.) pour aboutir aux relations   :

\(t'= \gamma (t-\frac{Vx}{c^2})\)
\(x'=\gamma(x-Vt)\)

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Edité par Sennacherib 17 mars 2018 à 12:23:59