Bonjour à tous, je lis un livre sur l'analyse, et je m’efforce à essayer de trouver des preuves de certaines propriétés qui sont données mais pas forcément prouvées. Pourriez-vous me dire si ma preuve de la propriété suivante est bonne? J'ai un peu l'impression d'avoir fait des collages maladroits de glue mathématique: 

si lim x->a f(x) = L, on a lim x->a f(x)^2 = L^2.

<=> pour tout epsilon>0, il existe delta>0 tel que |x-a|<delta => |f(x)^2 - L^2|<epsilon.

|f(x)^2 - L^2| = |f(x)-L|* |f(x)+L| = |f(x)-L|*|f(x)-L+2L|

Remarquez que par l'inégalité triangulaire, on a:

|f(x)-L|*|f(x)-L+2L| < |f(x)-L|*|f(x)-L| + |2L|

On sait que lim x->a f(x) = L <=> pour tout epsilon>0 il delta>0 tel que |x-a|<delta => |f(x) - L|<epsilon

ainsi il existe delta>0 tel que si |x-a| < delta alors |f(x)-L|<sqrt(epsilon-2L)

Alors, pour ce delta on peut dire que: |f(x)-L|*|f(x)-L| + |2L| < sqrt(epsilon-2L)^2 +|2L| = epsilon-2L+|2L|

Le carré d'un nombre réel est toujours positif, ainsi, |2L| = 2L et epsilon-2L+|2L| = epsilon-2L+2L= epsilon

Comme |f(x)-L|* |f(x)+L| < |f(x)-L|*|f(x)-L| + |2L| < epsilon

alors |f(x)^2- L^2|<epsilon

C.Q.F.D(enfiiiin, seulement si ma preuve est valide!)

Salut,

> Remarquez que par l'inégalité triangulaire, on a...

Le abs(f(x) - L) devrait également être en facteur du abs(2L).

> On sait que lim x en a de f(x) = L ... ainsi il existe delta > 0 tel que si x-a < delta alors f(x) - L < sqrt(epsilon-2L)

Pourquoi on aurait abs(f(x)-L) < sqrt(epsilon-2L) ?

Pourquoi epsilon - 2L serait positif ? Pourquoi 2L serait positif ?

Pour montrer que f(x)² tend vers L² (et en fait, on peut faire plus général et montrer que si f tend vers l en a et que g tend vers l' en b, alors fg tend vers ll' en a) regarde f(x)² - l² (pour le cas général f(x)g(x) - ll') et essaye de montrer que ça tend vers 0.

EDIT : L'éditeur Markdown d'OC est vraiment merdique. Il pose problème pour écrire des valeurs absolues. Une dizaine d'éditions de messages pour arriver à un résultat un peu potable.

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Edité par yo@n97one 17 juin 2020 à 14:17:07

Personnellement, je n'aime pas du tout les 2 première lignes de ta démonstration.

si lim x->a f(x) = L, on a lim x->a f(x)^2 = L^2.

<=> pour tout epsilon>0, il existe delta>0 tel que |x-a|<delta => |f(x)^2 - L^2|<epsilon.

Je sais que je suis tatillon, et que ce que tu écris est admis aujourd'hui

Ma proposition, pour remplacer ta première ligne: 

Soit f une fonction définie sur ... , soit a et L 2 réels. On suppose qu'on a lim x->a f(x) = L . On veut montrer que dans ce cas, on a : lim x->a f(x)²=L².  

On voit clairement les hypohèses d'une part, et ce qu'on veut montrer d'autre part.

Dans ta 2ème ligne ... on ne sait pas trop si tu dis : On a pris l'hypothèse que ...  ou si tu dis : on veut montrer que ... 

Vu que tu parles de L², on DEVINE que tu dis  'on veut montrer que', mais on ne devrait pas avoir à deviner ta pensée.

Je ne regarde pas la suite de la démonstration.

Tu essaies de faire des exercices de niveau 'supérieur', c'est bien. Essaie surtout de faire très bien des exercices de ton niveau.

Dans une démonstration, il faut rédiger en disant clairement : les hypothèses sont xxx  Et ce qu'on cherche à démontrer, c'est que zzz.  Puis, pour chaque ligne de la démonstration, il faut qu'on sache clairement si c'est ce qui est dans les hypothèses, que tu réécris différemment, ou bien si c'est ce que tu cherches à démontrer que tu réécris différemment. 

Ce n'est jamais un mix des 2.

En faisant cet effort, ça fait la différence entre une démonstration vaguement acceptable au niveau lycée et une démonstration correcte.

Merci pour vos réponses détaillées ! Je laisse encore le sujet un peu ouvert au cas où de nouvelles précisions seraient apportées.

Encore merci à vous!