Salut a tous !
J'ai récemment du faire un calcul sur la probabilité qu'une loi de bernouilli soit de parametre \(\mu\) étant donné qu'on a observé \(a\) réussite et \(b\) échecs. Je trouve un résultat mais je ne suis pas trop sur de moi et j'aurais aimé confirmation :

d'après l'égalité de Bayes, on a : \[ P(\mu = x | X) = \frac{P(X | \mu = x) P(\mu = x)}{P(X)} \]
or, on sait que \[P(X | \mu = x) = x^a (1 - x)^b\], il ne nous reste plus qu'a fixer \(P(\mu = x)\) et \(P(X)\) et c'est la que j'hésite sur ma réponse :
j'ai considéré que la distribution de \(\mu\) était equiprobable sur [0,1] et donc que \(P(\mu = x) = 1\) pour tout x,
et comme X est un événement déjà observé alors \(P(X) = 1\), ce qui nous donnerais
\[ P(\mu = x | X) = x^a (1-x)^b \], mais je ne sais pas si mes deux assomptions tiennent vraiment la route ?
D'ailleur, je suis sur d'avoir déja vu cette distribution que j'obtiens quelque part, mais je n'arrive plus a trouver son nom ?

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Edité par redlantern 19 mars 2019 à 3:01:43

c'est peut-être que moi mais je ne comprends pas ce qu'est P(X). normalement on écrit P(X=...) ou P(X∈...).

edit: si µ est equiprobable (de loi uniforme) sur [0;1], alors P(µ = x) = 0 non?

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Edité par poipoi34 20 mars 2019 à 14:00:09

poipoi34 a écrit:

c'est peut-être que moi mais je ne comprends pas ce qu'est P(X). normalement on écrit P(X=...) ou P(X∈...).

edit: si µ est equiprobable (de loi uniforme) sur [0;1], alors P(µ = x) = 0 non?

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Edité par poipoi34 il y a 33 minutes

attention, je pense que on applique le théorème de Bayes aux fonction x de   densité de probabilité. La densité de la loi uniforme sur un support \((a,b)\) est constante et vaut \(\frac{1}{b-a}\) donc si le support vaut \((0,1)\), la densité est bien 1. 
Je pense que  l'exercice ici est un exemple de calcul dans un cas simple d'estimation bayésienne du paramètre  d'une loi postulée  à partir d'une observation connue, où le théorème de Bayes joue le rôle central. ( on parle aussi de recherche de distribution a posteriori des paramètres d'une loi).
En l'absence d'informations particulières, on suppose que le choix de  \(\mu \in (0,1)\)   est uniforme sur son support, d'où la valeur 1 qui me semble logique.

Je pense que le raisonnement proposé est globalement correct dans son principe mais un bémol sur le résultat,   , il manque à mon avis un coefficient résultant d'une possible confusion entre la loi de Bernoulli et la loi binomiale. Bernoulli, c'est la loi à deux issues \(x\in (0,1)\) avec \(P(X=x)=\mu^x(1-x)^{1-x}\).

La loi binomiale pour \(n\) essais est la loi d'une variable somme de \(n\) variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre \(\mu\).

Ici, on aurait donc \( n=a+b\) et la loi de densité ne serait pas \(x^{a}(1-x)^b\) mais \(C_n^{a}x^{a}(1-x)^b=\frac{(a+b)!}{a!b!}x^{a}(1-x)^b\).

Il manquerait donc le coefficient du binôme dans le résultat.

En appliquant le théorème du maximum de vraisemblance à l'estimateur bayésien de la loi de \(\mu\),   on trouve sans surprise que le maximum de vraisemblance est obtenu pour \(\mu=\frac{a}{a+b}\) 

redlantern a écrit:

 \[ P(\mu = x | X) = x^a (1-x)^b \], mais je ne sais pas si mes deux assomptions tiennent vraiment la route ?

D'ailleur, je suis sur d'avoir déja vu cette distribution que j'obtiens quelque part, mais je n'arrive plus a trouver son nom ?

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Edité par redlantern hier à 3:01

 donc au coefficient prés cela me semble tenir la route... 

pour répondre à la question d' une telle loi,    avec usuellement les exposants sous la forme \((a-1,b-1)\) , non  entiers dans le cas général, on a à faire à  la loi beta avec comme coefficient l'inverse de la fonction beta \(\frac{1}{\mathcal{B}(a,b)}\) et si \(a,b\) sont entiers, on retrouve la valeur des coefficients du binôme.

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Edité par Sennacherib 20 mars 2019 à 15:24:08

super réponse, merci !

en fait je ne suis pas sur pour la constante multiplicative, parce que mon observation est une suite de réussite / échec dont l'ordre et déjà déterminé, genre {R,E,R,R,E,E, … }, j'ai fait simplement la remarque que le résultat final ne dépend que du nombre de réussite / échec dans cette suite d'où l'interet que je parte directement des deux nombres a et b, mais du coup la probabilité de l'observation j'ai pensé était celle que j'avais de base non ?