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Probabilités avec une pièce truquée

    6 juin 2019 à 19:46:02

    Bonjour à tous!

    Avec un ami on est tombé sur un énoncé pour des exams d'admission de Bachelor à Cambridge dont l'énoncé était le suivant:

    On dispose de 128 pièces non truquées et d'une pièce dont les deux faces sont piles.

    On tire une pièce au hasard parmi les 129 pièces et on la lance 8 fois. On a obtenu 8 fois piles. Quelle est alors la probabilité d'obtenir à nouveau pile en lançant une nouvelle fois la pièce?

    On n'a malheureusement pas la ref du sujet donc pas de corrigé. Je voulais savoir quelle aurait été votre approche à ce sujet.

    Personnellement j'aurais fonctionné de la sorte:

    Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès S "obtenir pile".

    On a deux possibilités à l'origine: soit on tire une pièce non truquée (cas 1), avec une probabilité de 128/129, soit on tire la pièce truquée (cas 2) à une probabilité de 1/129.

    Cas 1:

    On a une chance sur deux d'obtenir pile. Ici, on peut appliquer une loi binomiale, avec Z qui compte le nombre de succès S "obtenir pile", p(S) = 1/2. Z~B(9;1/2). Plus simplement, comme on a 9 succès parmi 9 essais, la probabilité se calcule rapidement:

    p(Z=9) = (1/2)^9

    Cas 2:

    Avec la pièce truquée, l'événement succès S "obtenir pile" est l'événement certain. Donc la probabilité serait de 1.

    Ainsi, on a au départ une probabilité de 128/129 de tirer une pièce non truquée et avec cette pièce, une probabilité de (1/2)^9 d'obtenir neuf succès à la suite. On a également une probabilité de 1/129 de tirer une pièce truquée et ainsi d'obtenir neuf succès à la suite. Les deux cas étudiés sont des événements incompatibles (on ne peut pas tirer une pièce truquée et non truquée à la fois). On peut donc écrire:

    P(X=9) = P(cas1) + P(cas2) = 1/129 + 128/129 * (1/2)^9 ~= 0,00969 (=5/516)

    Qu'en pensez vous?

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      6 juin 2019 à 22:46:40

      Non.

      Ton cas 1 est faux. Ce qu'on doit calculer, ce n'est pas P(Z=9), mais P(Z=9 sachant que les 8 premiers tirages ont donné Pile) 

      Donc dans le cas 1, on a une proba de 50%.  Et non une proba de (1/2)^9

      Et donc au total P=(50%*128 + 100%*1 )/129 = 65/129 = 0.50388 

      Mais même ça, ce n'est pas bon.  Pour s'en convaincre, remplaçons le nombre 8 par 800 par exemple. On a lancé 800 fois la pièce, elle a donné 800 fois pile. Elle va donner quoi au 801ème lancer ? Ton calcul dit environ 1% de donner pile, le mien dit 50.4% de donner pile, mais l'évidence, c'est 99.9999% de donner pile.

      Imaginons un exercice un peu différent. J'ai 2 pièces, dont une qui est truquée. Je prends une pièce au hasard, je la lance 8 fois, elle sort 8 fois pile. Quelle est la probabilité d'avoir pile au 9ème lancer. Si on fait le même raisonnement que tu as fait, on va trouver 75%  et si on se repose la même question après 30 lancers qui ont tous donné pile, ce calcul donnera toujours 75%. Alors qu'un humain normalement constitué va dire : C'est QUASI sûr que j'ai pris la pièce truquée, donc la proba d'avoir encore pile au 31ème essai, elle est très proche de 100% (pas tout à fait 100%, il y a un tout petit espoir que ma pièce ne soit pas la pièce truquée)

      Dans cet exercice, c'est pareil, on n'a pas la certitude d'avoir pris la pièce truquée, mais on a une probabilité largement supérieure à 1/129 d'avoir pris cette pièce truquée.

      Le calcul précis... ça ne me vient pas. Mais je crois que ça va m'empécher de dormir    grrrrrr.

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        7 juin 2019 à 10:57:00

         Il est intuitivement évident que si on obtient 8 fois pile, la probabilité que la pièce tirée soit celle truquée est très élevée et la probabilité d'avoir pile au 9 ème lancer est très supérieure à 0.503 ( environ 0.833333=5/6 si ce que je dis ci-après est correct).

        tbc92 a écrit:

          Le calcul précis... ça ne me vient pas. Mais je crois que ça va m'empécher de dormir    grrrrrr.

        tbc92, j'espère que tu as quand même dormi :lol:,

        mais je pense que la solution rigoureuse de l'exercice est une application du théorème de Bayes (ou recherche de la probabilité des causes)

        En toute généralité, je suppose \(n\) piles, je cherche la probabilité d'avoir pile au lancer \(n+1\)

        Je note respectivement \(T,NT\) la probabilité de tirer au hasard une pièce truquée , non truquée (ici 1/129, 128/129)

        Je note nP l'événement n pile successifs

        Alors le théorème nous dit que : \(P(T\vert nP)=\frac{P(T)P(nP\vert T)}{P(T)P(nP\vert T)+P(NT)P(nP\vert NT)} \)

        \(P(NT\vert nP)=\frac{P(NT)P(nP\vert T)}{P(T)P(nP\vert T)+P(NT)P(nP\vert NT)} \)

        Sachant que ici \(P(nP\vert T)=1\) et \(P(nP\vert NT)=\frac{1}{2^n}\), l'application numérique nous donne ici après simplifications 

        \(P(T\vert nP)=\frac{1}{1+\frac{128}{2^n}}\)

        \(P(NT\vert nP)=\frac{\frac{128}{2^n}}{1+\frac{128}{2^n}}\)

        Alors P((n+1)=pile)=\(P(T\vert nP)*1+P(NT\vert nP)*0.5 \) soit 

        \(P( (n+1)=pile)=\frac{1+\frac{64}{2^n}}{1+\frac{128}{2^n}}\) d'où le 5/6 indiqué au début pour n=8.

        Et on est quasi- certain que la pièce tirée est truquée  dés que \(n\geq 20\) avec \(P\sim 0.99994\)



        -
        Edité par Sennacherib 7 juin 2019 à 11:09:39

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        tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
          7 juin 2019 à 15:44:26

          En fait, j'ai complètement effacé cet exercice de mon cerveau, et j'ai très bien dormi, merci ;)

          Pour NicolasGry, il faut en fait décomposer l'exercice en 3 questions :

          1- J'ai 129 pièces dont une truquée, j'en prends une au hasard, quelle est la proba de tomber sur la pièce truquée.   Facile.

          2- Je lance ma pièce 8 fois, et elle donne 8 fois pile, Peut-on réévaluer la probabilité . Compliqué, c'est le théorème de Bayes fourni par Sennacherib qui permet de trouver la solution.

          3- Quelle est la probabilité de sortir pile au 9ème lancer. Facile à partir du moment où on a su répondre à la question 2.

          Dans l'enseignement français, on aurait décomposé le problème avec ces 3 questions... Ici, on a un problème réel, et on ne t'aide pas dans le raisonnement en posant les questions intermédiaires.

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          Probabilités avec une pièce truquée

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