Je dois prouver que si f°f(x) = x et f(x) croissante , alors f(x) = x . ça me semble logique mais en cours on a pas encore vu les fonctions réciproques etc... j'ai du mal a trouver une démonstration.... 

Prenons un réel x0 quelconque. Supposons que pour cette valeur x0 , f(x0)<x0.

Pour faciliter la lecture, je vais introduire une autre fonction g. Ma fonction g, c'est la fonction f. Mais pour faciliter la compréhension, je préfère avoir 2 notations différentes.

On a donc x0 tel que f(x0)<x0. Et comme g est croissante : g(f(0))<=g(x0).  Et comme on a supposé g(x0)<x0, on a : g(f(x0))<=g(x0)<x0, soit g(f(x0)<x0. Ce qui est contradictoire avec l'énoncé. Donc on ne peut pas avoir x0 tel que f(x0)<x0.

Et on montre exactement de la même façon qu'on ne peut pas avoir x0 tel que f(x0)>x0.

Salut,

Il te faut écrire les inégalités que tu as. Pour tout x, on a f(f(x)) >= f(x) car f croissante, mais f(f(x)) = x, donc on a x >= f(x). Mais, puisque f est croissante on a aussi f(x) >= x d’où f(x) = x.