Bonjour,

Depuis ce matin, j'essaie de trouver toutes les solutions du problème suivant :

X étant réel, donnez le nombre de solution de :

x^2012 = 2012^x

N'ayant jamais rencontré d'équation de ce type, j'ai du mal à trouver la démarche à suivre, je n'ai trouvé que la solution évidente x = 2012

Logiquement, chaque solution x doit être une puissance de 2012 ou bien une racine, 2012 n'étant pas carré parfait, ce ne peut-être qu'une racine. Mais après je bloqur...

Quelqu'un peut-il me donner une piste ? Et est-il possible de généraliser les différentes solutions pour :

x^y = y^x

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Edité par TejpEj 1 janvier 2018 à 19:52:33

Salut. 
Je me trompe peut être mais il me semble assez clair que la seul solution est pour y=x :

Si on reprends le cas de x^2012 = 2012^x : On peut réécrire cela :  \( x^{2012}= e^{2012 ln(x) } \) et  \( 2012^{x}= e^{x ln(2012) } \) .
Du coups, c'est égale lorsque  \( 2012 ln(x) = x ln(2012)  \)

La question est :
est ce que 2012 est la seule solution de \( \frac{ln(x)}{x} = \frac{ ln(2012) }{2012 } \) et de façon générale, quelle sont les solutions de \( \frac{ln(x)}{x} = \frac{ ln(y) }{y} \) 

Il faut donc étudier  \( \frac{ln(x)}{x}  \)  :
En l'occurrence, la fonction est croissante jusqu'a x=e; puis décroissante. 

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Edité par edouard22 1 janvier 2018 à 19:22:43

Merci beaucoup pour ta réponse ! Je n'ai pas du tout vu les logarithmes en cours, donc je vais d'abord les apprendre avant de me réattaquer à ce problème

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Edité par TejpEj 1 janvier 2018 à 19:58:25

Quand tu dis 2012 n'est pas un carré parfait donc ... , ça veut dire que tu recherches des solutions dans N.

Ce n'est pas du tout l'esprit de l'exercice. Imagine le même exercice, mais avec 2012.1 au lieu de 2012. 

tbc93 : Ah oui, j'ai confondu R et Z, effectivement, ça change tout l'exercice...

En fait, je me suis trompé sur l'énoncé : il ne faut pas donner les solutions mais donner le nombre de solution parmi des propositions (0;1;2;n>2;nombre de solutions infinies), et on ne peut pas avoir recours à la calculatrice

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Edité par TejpEj 1 janvier 2018 à 19:58:38

Du coups, il est assez clair que tu as le choix entre 1 et 2.  Puisque tu est sur Z, je suis assez confiant sur 1.

non :  l'énoncé commence par  x étant réel .. ..

L'équation à résoudre revient à résoudre x^2012-2012^x = 0

Intéresse toi au signe de x^2012-2012^x, pour quelques valeurs de x  (0,1,2, 3,    et pour x très très grand )

tbc92 a écrit:

non :  l'énoncé commence par  x étant réel .. ..

L'équation à résoudre revient à résoudre x^2012-2012^x = 0

Intéresse toi au signe de x^2012-2012^x, pour quelques valeurs de x  (0,1,2, 3,    et pour x très très grand )

Après, je trouve que l'étude de ln(x)/x permet mieux de montrer qu'il y a deux solutions réelles* : la première dans [1,e] et l'autre dans \( [e , \infty ] \):-)

Par exemple pour \( 2012^x = x^{2012} \). On trouve en plus de la solution x=2012; \( x \approx 1.0038 \)  avec \( 1.0038^{2012} = 2061 \) et \( 2012 ^ {1.0038} = 2071 \) 

ou alors \( 177^{1.0306} = 1.0306^{177} = 207 \)

* \( x \geq 1\) 

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Edité par edouard22 2 janvier 2018 à 1:34:52

edouard22 a écrit:

Après, je trouve que l'étude de ln(x)/x permet mieux de montrer qu'il y a deux solutions réelles* : la première dans [1,e] et l'autre dans \( [e , \infty ] \):-)

Par exemple pour \( 2012^x = x^{2012} \). On trouve en plus de la solution x=2012; \( x \approx 1.0038 \)  avec \( 1.0038^{2012} = 2061 \) et \( 2012 ^ {1.0038} = 2071 \) 

ou alors \( 177^{1.0306} = 1.0306^{177} = 207 \)

* \( x \geq 1\) 

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Edité par edouard22 il y a environ 8 heures

on peut affiner la précision...\(x=1.0038023441, 1.0038023441^{2012}=2071.0448...,2012^{1.0038023441}=2071.0448...\)    

Mais attention,  , en passant au logarithme, on s'impose implicitement \(x>0\), ce qui fait rater une solution de \(N^x=x^N\), avec \(N\) entier pair comme ici \(N=2012\). Ainsi dans cet exemple, \(x=-0.996240539...\) est aussi solution avec \(  (-0.996240539)^{2012}= 2012^{(-0.996240539)}\sim 0.000511...\)

Du coups, c'est assez intrigant de voir que dans cet exemple :  \( x_1 = 1 + \epsilon \)  avec \( \epsilon \approx 0.0038 \) et \( x_2 = -1 + \epsilon \) avec le même epsilon.  Une coïncidence ou une règle ?

D'ailleurs, est ce qu'on a la possibilité de trouver ces deux valeurs de façon analytique ?

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Edité par edouard22 2 janvier 2018 à 14:21:36

edouard22 a écrit:

Du coups, c'est assez intrigant de voir que dans cet exemple :  \( x_1 = 1 + \epsilon \)  avec \( \epsilon \approx 0.0038 \) et \( x_2 = -1 + \epsilon \) avec le même epsilon.  Une coïncidence ou une règle ?

C’est une fausse piste, (vérifié directement à l'arrache)

Je ne vois pas comment trouver analytiquement la/les solutions négatives, mais on trouve assez simplement beaucoup d'autres avec la Fonction W de Lambert  :

On met l'eq sous cette forme :

\(\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln a}{a} = C(a)\)

On utilise cette règle de la fonction W :

\(W(-\frac{\ln x}{x}) = -\ln x\)

Et on déroule jusqu'à avoir

\(x = e^{-W(-C)} = -\frac{W(-C)}{C}\)

solution :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5B-ProductLog%5B0,+-c%5D%2Fc%5D,+c+%3D+log(2012)%2F2012

ProductLog[k, -c] c'est la "k-ième" solution de W appliqué à -c

k = -1 et k = 0 sont les deux solutions réelles positives

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Edité par moc_oo 2 janvier 2018 à 15:56:55

edouard22 a écrit:

Du coups, c'est assez intrigant de voir que dans cet exemple :  \( x_1 = 1 + \epsilon \)  avec \( \epsilon \approx 0.0038 \) et \( x_2 = -1 + \epsilon \) avec le même epsilon.  Une coïncidence ou une règle ?

D'ailleurs, est ce qu'on a la possibilité de trouver ces deux valeurs de façon analytique ?

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Edité par edouard22 il y a environ 1 heure

ce n'est pas le même epsilon . 2012 est suffisamment élevé pour qu'il faille pousser les décimales  pour le voir mais on a en fait \(x_1=1+0,0038023441\) et \(x_2=-1+0.00375946\).
Mais je ne comprends pas bien pourquoi il y aurait un problème pour trouver la valeur négative.

Si \(x>0\), on a donc \(\dfrac{\ln(x)}{x}=\dfrac{\ln(N)}{N}\)

Pour x<0, il suffit de chercher \(y=-x >0\) tels que  \(N^{ (-y)}=(-y)^N\) et si \(N\) est pair, le signe moins à droite est éliminé, on peut alors prendre le logarithme et \(y\) vérifie  \(\dfrac{\ln(y)}{y}=-\dfrac{\ln(N)}{N}\). Pour \(N=2012\), cela conduit au \(x\) que j'ai indiqué .

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Edité par Sennacherib 2 janvier 2018 à 16:51:07

Merci beaucoup pour toutes vos réponses ! Vu que je n'ai pas le droit à la calculatrice et que je n'ai pas besoin de trouver les solutions mais juste le nombre de solution, j'ai utilisé la méthode de tbc92, grâce à la quelle on peut déduire qu'il y a au moins 3 solutions, une comprise entre -1 et 0, une comprise entre 0 et 1, et logiquement  2012, donc le nombre de solution est bien n>2