Bonjour les zéros :P, c'est bientôt la rentrée et je me retrouve dans un situation ambigu. En effet j'ai une partie d'un devoir maison qui me laisse dans embarrass . Voici son enoncé :

Soit <math>\(f(x)=x-k*(x+1)*exp(-x)\)</math>, avec <math>\(k\)</math> constante réel strictement positif.
et <math>\(g(x) = exp(x) + kx\)</math>

<math>\(ak\)</math> est solution unique de l'equation <math>\(g(x)=0\)</math>

a) Determiner <math>\(ak\)</math>
b) Montrer que <math>\(ak\)</math> est le minimun unique de la fonction <math>\(f\)</math>

J'ai essayé le a) mais je suis pas sur que le résultat soit bon . Je pense que c'est ce resultat qui m'empêche de répondre à la suite de l'exercice.

<math>\(g(x) = 0\)</math>

<math>\(exp(x) + kx = 0\)</math>

<math>\(kx = -exp(x)\)</math>

<math>\(x = -exp(x)/k\)</math>

Le problème c'est que <math>\(exp(x)\)</math> n'est pas simplifiable. Ormis avec <math>\(ln\)</math> mais ca n'avancerais pas plus l'expression pour trouver la solution.

En effet on pourrait pourtant l'obtenir avec un développement asymptotique (mais je sais pas si c'est de ton niveau t'es en sup ? ou en terminale ?).
Sinon peut être qu'il faut juste prouver qu'il existe une unique solution (étude de fonction).

Est tu sûr qu'on ne te demande pas si le minimum unique de f(x) ne se situe pas en <math>\(a_k\)</math> plutôt ?

Parce qu'à ce moment là, comme dans de nombreux cas où l'on te demandera de trouver des minima ou leurs antécédants, il s'agit de dériver f(x). Attention ce n'est pas direct pour arriver au résultat, mais l'étape suivante ne nécessite pas tant de réflexion que cela.

@GuGus963
Je suis en terminale S

@freudqo
En effet j'ai bourdé
"En deduire que <math>\(f\)</math> admet un minimun unique en <math>\(ak\)</math> et vérifier que : <math>\(f(ak)=ak + 1 + 1/ak\)</math>" (pour ce dernier j'ai trouvé)

Tu ne peux pas déterminer <math>\(ak\)</math> de manière formelle à ton niveau, qui fait appel à la fonction <math>\(W\)</math> de Lambert.

Tu dois trouver une valeur numérique approchée je pense, à l'aide de la calculette.

En tout cas cette question n'a aucune importance pour la suite normalement. La seule chose que dont tu as besoin c'est le fait que <math>\(ak\)</math> soit la solution de <math>\(g(x)=0\)</math>.

En fait, la ou se situe les questions sont à la fin du dm, et c'est juste cette question qui me dérange.
J'ai tracé les courbes sur geogebra, et lorsque l'on regarde le minimun il est très inexacte (il y a plein de chiffre après la virgule)
Je constate aussi que le se raproche de 0 plus k est grand. Donc a mon avis je dois trouvé une constante fixe qui serait proportionel a k qui remplacerais le exp(x). Je pense que c'est cela qui faudrait que je trouve a la calculatrice. Sauf que je trouve pas Enfin c'est pas grave

<math>\(e^x+kx=0 \Rightarrow e^x=-kx, \ or \ e^x>0 \Rightarrow x<0 \Rightarrow ak < 0\)</math>.
A mon avis c'est la seule chose pertinente que tu peux dire.
Je vois vraiment pas comment tu pourrais trouver une solution autre qu'une valeur numérique obtenue à la calculette, avec les connaissances de TS.

La résolution de ton problème est assez simple a mon avis
on connais a la base que g(x) = exp(x) + kx sachant que g(x)=0
sa va dire encore dire que
exp(x) + kx = 0
=> exp(x) = - kx
=> exp(x) = exp(-ln kx)
=> x= -ln kx

Si <math>\(k \geqslant 1\)</math>, alors <math>\(e^{-k} < k^2\)</math>, donc <math>\(e^{-k} - k^2 < 0\)</math>, et donc <math>\(-k < ak < 0\)</math>.
Si <math>\(k < 1\)</math>, alors <math>\(e^{\frac{-1}{k}} + k*\frac{-1}{k} = e^{\frac{-1}{k}}-1 < 0\)</math>, donc <math>\(\frac{-1}{k} < ak < 0\)</math>.

très simple merci
c'est en faite ça la discussion sur ak

Ouais, on doit pouvoir aller plus loin je pense.
Je vais y réfléchir, mais c'est intéressant comme petit problème .

Edit :
Il y a plus simple et plus précis :
<math>\(\frac{1}{k} < ak < 0, \ \forall k \in \mathbb{R^{+*}}\)</math>

Citation : fabricelepro

La résolution de ton problème est assez simple a mon avis
on connais a la base que g(x) = exp(x) + kx sachant que g(x)=0
sa va dire encore dire que
exp(x) + kx = 0
=> exp(x) = - kx
=> exp(x) = exp(-ln kx)
=> x= -ln kx

Oui, mais ça ne sert à rien.

Comme cela a été dit, tout ce qu'on peut faire c'est donner une valeur approximative si on a k, sinon faire une discussion simple sur ak.

Je pense avoir trouvé une alternative. Ce serait de dérivé f, montrer ces variation, qu'elle est croissante puis décroissance dans un intervalle ou ak est definie. Ensuite calculé la tengente au point d'absice ak et montrer qu'elle s'annule. Ce qui permettrais d'en deduire que c'est le maximun.

Je ne vois pas trop où tu veux en venir, dériver quelle fonction ?

Si tu dérives la fonction g(x) tu n'auras que ses variations
Si tu dérives la fonction f(x) tu retombes sur la même équation à résoudre.

En clair on tourne en rond.
Je pense qu'au niveau TS on ne peut que discuter la valeur de la solution.

Tu pourrais essayer avec d'autres valeurs, par exemple <math>\(\frac{-1}{k^2}, \ ou \ \frac{-1}{ln(x)}\)</math>.

Regardes ce que ça donne :
<math>\(e^{\frac{-1}{k^2}} + k \frac{-1}{k^2} = e^{\frac{-1}{k^2}} - \frac{1}{k} < 0 \Rightarrow \frac{-1}{k^2} < ak < 0\)</math>
Et plus généralement :
si <math>\(k \geqslant 1\)</math>, alors <math>\(e^{-k^{-n}} - k^{1-n} < 0, \ avec \ n \in \mathbb{R}, \ n \geqslant 1\)</math>,
sinon <math>\(k < 1\)</math>, alors <math>\(e^{-k^{-n}} - k^{1-n} < 0, \ avec \ n \in \mathbb{R}, \ n \leqslant -1\)</math>.

trop compliqué pour le TS

Tu plaisantes, je suis en TS et je trouves ça plutôt simple .

Le problème n'est pas de determiner ak, mais juste en deduire que f admet un maximun en ak.
Enfin bref c'est pas grave le dm a été rendu ^^. Je vous envoyerais la partie du corrigé pour comprendre de quel manière il fallait résoudre ce problème

Ok, merci.
Je me demandais bien comment tu pouvais trouver une valeur de ak .

quand je dis compliqué pour la TS c'est juste que le raisonnement n'est pas de mise