Bonjour je suis tombé sur un petit problème de logique facebook , et j'ai trouvé deux méthodes différentes qui tombent sur le même résultat (96), voici la suite logique :

1 + 4 = 5 (n == 0)

2 + 5 = 12 (n == 1)

3 + 6 = 21 (...)

4 + 7 = 32 

5 + 8 = 45 

6 + 9 = 60 

7 + 10 = 77 

8 + 11 = 96 (n == 7)

La méthode 1:

Disons qu'on est sous forme a + b = c

La première méthode était de faire c = (a * b + a)

J'ai ai conclu f(n) = n^2 + 6n + 5

Pour un rang n je trouve bien le résultat

La méthode 2 :

C'est de se dire que c = (l'ancien c) + a + b

Soit U(n+1) = Un + 2n + 5

avec U(0) = 5

J'ai juste un baccalauréat et je voulais une compréhension simple de pourquoi en gros

la suite était équivalente à la fonction? déjà est-ce possible d'avoir l'équivalence entre une suite et une fonction ? si oui comment procéder ?

Merci

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Edité par Sapristi12 26 avril 2021 à 13:36:23

Bonjour ! Je n'ai pas bien compris quelle était la question. Mais j'ai refait les calculs :

• Méthode 1 : je trouve pareil.
• Méthode 2 : je trouve u(n+1) = u(n) + (n+2) + (n+5).

Par exemple pour n = 5, la méthode 2 donne : u(6) = u(5) + 7 + 10 = 60 + 17 = 77, qui est le bon résultat.

On a donc deux formules pour calculer la même chose :

(1) u(n) = n² + 6n + 5

(2) u(n+1) = u(n) + 2n + 7

Forcément, ces deux formules doivent être équivalentes.

Puisque tu as le bac, tu as étudié les suites numériques. La chose la plus importante qu'il faut retenir des suites, c'est qu'il y a deux façons de les définir :

• calcul direct : u(n) se calcule à partir de n, ce qui définit une certaine fonction.
• définition par récurrence : u(n+1) se calcule à partir du terme précédent u(n).

La deuxième façon est moins pratique : elle nécessite, pour calculer un u(n) particulier, de tout reprendre depuis le début. Mais dans la nature c'est souvent ainsi qu'apparaissent les suites.

Bref, ici on a deux écritures différentes : une directe (i) et une par récurrence (ii).

Vérifions qu'elles aboutissent aux mêmes valeurs en utilisant la technique dite « démonstration par récurrence ». Si (1) et (2) donnaient le même résultat au rang n, il s'agit de vérifier qu'elles donnent toujours le même résultat au rang n+1.

Donc calculons u(n+1). On écrit la formule (2) en remplaçant u(n) par n² + 6n + 5 (puisqu'on suppose que c'est la valeur correcte au rang n) :

(2) ==> u(n+1) = u(n) + 2n + 7 = (n² + 6n + 5) + 2n + 7 = n² + 8n + 12.

Que dit la formule (1) pour u(n+1) ?

(1) avec n+1 ==> u(n+1) = (n+1)² + 6(n+1) + 5 = n² + 2n + 1 + 6n + 6 + 5 = n² + 8n + 12.

Les deux formules donnent à nouveau le même résultat.

Conclusion : comme on part d'un même u(0), les deux formules donnent toujours le même résultat.

Je ne sais pas si c'était ce que tu voulais comprendre...

(De plus, note bien qu'une suite est une fonction. C'est une fonction qui n'est définie que sur les entiers.)

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Edité par robun 26 avril 2021 à 14:09:25

Ta réponse est :

Claire, efficace, limpide, pleine d'humilité..... parfaite !

C'est exactement ce que je voulais comprendre et tu m'as expliqué parfaitement! J'avais fini par comprendre mais pas de manière aussi rigoureuse!

ça fait 3 ans que j'ai eu le bac et je me souvenais plus qu'on pouvait passer d'une suite u(n) à une fonction(x) comme ça !

Merci infinement !!