Bonjour a tous,

j'ai un petit exo mais je m'embrouille quand même:

Dans un repère orthonormé (O,I,J) tel que A(1;3), B(4;1) et C(9/2;5)

Je doit montrer que C appartient à la médiatrice de [AB] de deux façons différentes: Je voulais montrer ceci par une symétrie centrale??je peux?? tel que AC=BC??

Et pour la deuxieme démonstration je ne sais pas :/

quelle "symétrie centrale"?
On dit: I est l'image de J par la symétrie centrale de centre K.
Mais dans ton cas qui voudrais-tu prendre comme I, J ou K?

NB: C appartient à la médiatrice de [AB] <=> AC = BC, donc une petite astuce serait de calculer certaines distances entre points, je te laisse trouver lesquelles

bin la distance Ac et la distance BC,

Oui mais pour voir si les distances sont égales, il faut les calculer.

Dès lors, une formule bien utile pourrait t'aider:
IJ = sqrt((xI - xJ)² + (yI - yJ)²)

sqrt?? peut tu m'expliquer silte plais je n'ais pas vue cette formule

sqrt = "square root" soit racine carrée
<math>\(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)</math>
Wikipédia, distance entre deux points

Pour c'est 'simple' donc je met uniquement le résultat

tel que AC=BC=16.25

En géométrie plane la distance ne suffit pas. Les points peuvent ne pas être aligné, m'enfin dans ton cas ça ne change rien vu que n'importe quel point de la médiatrice d'un segment a une distance égale pour les deux extremités.
N'empeche que dans ton cas il ne faut pas utiliser le mot symétrie, à moins d'avoir démontré que C appartient à [AB].

Après pour la deuxième méthode, je ne vois pas trop comment tu peux faire autrement, peut être avec les équations de droites ?

Bonjour

Pour résoudre ton problème, une méthode consiste à utiliser les équations de droites :

On sait que : A(1;3) et B(4;1),
On pose a et b deux réels tels que (AB): y = ax + b,
Grâce aux données on obtient 3 = 1a + b et 1 = 4a + b, ce qui nous donne un système de deux équations à deux inconnues qui peut être rapidement résolu par une soustraction : a = -2/3 et b = 11/3.

On pose à présent I le milieu de [AB] de coordonnées xi et yi : (xa, ya ,xb et yb sont les coordonnées de A et B) :
xi = (xa + xb)/2 = 5/2 et yi = (ya + yb)/2 = 2 donc I(5/2 ; 2)

On pose ensuite a' et b' deux réels tels que (CI): y = a'x + b',
Pour que (CI): y = a'x + b' soit perpendiculaire à (AB): y = ax + b , a' doit valoir -1/a soit 3/2,
(I étant milieu de [AB], vérifier cette condition revient à prouver que C appartient à la médiatrice de [AB])

D'après les coordonnées de C et de I : 5 = (9/2)a' + b' et 2 = (5/2)a' + b' ce qui nous donne à nouveau un système de deux équations à deux inconnues résoluble par soustraction : a' = 3/2 et b' = 7/4.

a' = -1/a (3/2 = -(1/-2/3)) donc (CI) est perpendiculaire à (AB), avec I milieu de [AB], soit C appartient à la médiatrice du segment [AB] .

Voilà pour la méthode que ton exercice m'a inspiré , désolé de ne pas avoir utilisé les balises pour mieux mettre en forme tout ça (manque de temps), j'espère que c'est compréhensible .
En revanche, je ne me souviens pas très bien si ces notions ont déjà étés abordées en seconde ou pas .

Oui je confirme ces notions sont apprises en seconde Par contre on ne le rédige pas comme ça, mais c'est le même principe.

Bonjour
une proposition, si vous connaissez le produit scalaire)

Vous calculer les coordonnées de M milieu de AB. Vous obtenez M( 2.5, 2)
Les composantes du vecteur MC: (2,3)
Les composantes du vecteur AB: (3, -2)
Vous voyez alors que le produit scalaire AB*MC est nul . AB et MC sont perpendiculaires.
Donc CM est médiane et hauteur ,donc médiatrice

Pas de produit scalaire en seconde .

Je ne l'ai pas encore vue cette méthode, pouvez vous me l'expliquer, ou aurrez vous des liens qui l'expliquent?

à ARTS
je ne connais pas les programmes des Lycées actuels !
donc je ne sais pas exactement les notions que vous avez sur les vecteurs.
Si vous êtes intéressé par une explication élémentaire, il faudrait que je sache si c'est possible en me disant ce que vous savez ( calcul des composantes dans un repère ou autres ..)
Sinon je risque de vous embrouiller.

On s'appuie sur le fait qu'une médiatrice à un segment est une droite perpendiculaire passant par son milieu.

Pour déterminer les équations de droites :
Deux points M(xm,ym) et N(xn,yn) forment une unique droite d'équation encore inconnue y = ax + b avec a et b quelconques.
M et N appartenant à cette droite, on peut remplacer x et y par leurs coordonnées, ce qui nous donne deux équations :
ym = a*xm + b et yn = a*xn + b.

La méthode classique pour résoudre ce système consiste à soustraire une équation à la seconde ("membre à membre") :
ym - yn = a*xm + b - (a*xn + b)
ym - yn = a*xm - a*xn + b - b
ym - yn = a(xm - xn)
a = (ym - yn)/(xm - xn)
Mais tu est normalement autorisé à utiliser cette dernière formule directement sans la re-démontrer, si elle est contenue dans ton cours, il faut cependant être capable de la comprendre.

Pour ce qui est de la formule du a' = -1/a, le mieux est de faire un petit schéma : si tu trace une droite qui descend de 2 carreaux lorsqu'elle avance de 3 ( coefficient directeur -2/3 ), tracer une droite perpendiculaire consiste à tracer une droite qui monte de 3 carreaux lorsqu'elle avance de 2 ( coef. dir. de 3/2).

La formule du milieu je pense que tu la connais, y'a pas grand chose à expliquer .

Donc après avoir trouver l'équation de (AB) [en particulier le a], les coordonées de I, et l'équation de (CI) [surtout le a'] tu remarque que a' = -1/a (ou que a = -1/a'), tu peux alors affirmer que (CI) est perpendiculaire a (AB) avec I milieu de [AB], ce qui prouve l'appartenance de C à la médiatrice de [AB] .

Remarque : si tu trouve un a' différent de -1/a, alors la réciproque est juste : les deux droites concernées ne sont pas orthogonales.

Mais un PDF expliquera certainement bien mieux que moi toute ces notions : http://labomath.free.fr/qcms/seconde/e [...] e/droites.pdf .

Citation : A.R.T.S

Et pour la deuxieme démonstration je ne sais pas :/

Peut-être revenir à la définition d'une médiatrice

Grandefoine j'ai déja compris avec ton explication merci bien.

C'est bien sympas a tous