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Problème mélangeant : Second degré et dérivation

Dm 1ère

    6 février 2022 à 17:48:24

    Bonjour, je m'appelle Thomas et j'ai 16 ans, je suis en 1ère général avec pour spécialités : Mathématiques, SVT et NSI. Je ne suis pas nouveau sur openclassroom, j'avais juste perdu mon compte datant déjà de plusieurs années. Je ne vais pas tergiverser car cela risque d'être ennuyant pour tout le monde. J'ai besoin d'aide pour mon DM de maths, en effet j'ai eu une mauvaise note sur mon DS de dérivation et mon professeur a donné à la classe une occasion de se rattraper via ce DS :

    Evidemment, j'ai déjà cherché mais je suis bloqué à la question 2 et 3. Je vais donc vous expliquer ce que j'ai déjà fait, j'ai commencé par décomposer le problème en convertissant les données en langage mathématique.

    On a donc :

    Les longueurs sont exprimés en mètres.

    La toiture -> f(x) = ax^2 + bx + c.

    La parabole( Cf ) va vers le bas, alors a < 0.

    A(0; 0), B(8; 0), H(4; 0).

    Z(4; 2m-P1) = extremum de la fonction.

    C(4; P1+2m) = extremum du bâtiment.

    Une tangente notée T1 qui est tangente en A.

    Une tangente notée T2 qui est tangente en B.

    Exercice 1 :

    On a A(0; 0) = A(0; f(0))

    Puisque A Cf alors f(0) = 0 ce qui veut dire que a*0^2 + b*0 + c = 0

    donc c = 0.

    Exercice 2 :

    On dérive la fonction : f'(x) = 2ax + b et f'(0) = b

    Donc :

    T1 = f'(a)(x-a)+f(a)

    T1 = b(x-0)+0

    T1 = bx

    Ensuite je ne sais pas comment prouver que y = bx

    Exercice 3 :

    J'ai une petite idée mais je ne suis pas sur.

    PS : ^n = puissance de n


    Merci, Cordialement.

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      8 février 2022 à 17:38:29

      Bonjour ! Pas simple, ce DM... Je te recommande de garder en tête deux choses (j'ai remarqué que les élèves ont tendances à oublier ces deux choses fondamentales) :

      − Rappel n°1 : si un point appartient à la courbe représentative de la fonction f, ses coordonnées sont (x ; f(x)). Ordonnée = f(abscisse). Par exemple ici l'ordonnée du point Z est forcément f(4).

      − Rappel n°2 : si un point appartient à une droite, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Si on te dit que M(4; y) appartient à la droite d'équation y = 2x + 1, tu dois avoir le réflexe de dire : ah OK, du coup y = 2×4 + 1 = 9.

      − Rappel n°3 : le coefficient directeur de la tangente en a, c'est f'(a). Par exemple ici T1 a forcément pour coefficient directeur f'(0). Même pas besoin d'appliquer une formule compliquée.

      (Du coup ça fait trois choses...)

      Question 2

      Attention : tu ne dois pas écrire T1 = f'(a)(x-a) + f(a), ça ne veut rien dire puisque T1 est une droite, un objet géométrique, et ne peut pas être égal à un nombre !

      Ce que tu peux faire, c'est écrire ceci :

      T1 a pour équation :

      y = f'(0) (x-0) + f(0) (on applique la formule du cours en remplaçant a par 0)

      Comme f(0) = 0 et f'(0) = b, on retrouve bien l'équation y = bx. (Mais c'était plus rapide en appliquant mon rappel n° 3.)

      Question 3

      Il y a deux questions dans cette question.

      − Déduire la valeur de f(8) : il faut appliquer le rappel n°1.

      − Calculer l'équation de T2 : pour ça il faut connaître f(8) mais aussi f'(8) (puis appliquer la formule). Comme on demande de trouver une formule avec des a et des b, il me semble qu'on peut se contenter de dire que f'(8) = 2ax + b en remplaçant x par 8.

      Question 4

      Il faut traduire mathématiquement l'expression « T1 et T2 ont le point C en commun ». Ça signifie que C appartient à T1 et C appartient à T2.

      − On traduit « C appartient à T1 » : ça veut dire que les coordonnées de C vérifient l'équation de T1. Les coordonnées de C, c'est x = 4 et y_C = inconnu. L'équation de T1, c'est y = bx. Donc y_C = b×4  [1].

      − On traduit « C appartient à T2 » : ça veut dire que les coordonnées de C vérifient l'équation de T2. Les coordonnées de C, c'est x = 4 et y_C = inconnu (ça n'a pas changé !). L'équation de T2, c'est y = (16a+b)x - 128a - 8b. Donc y_C = (un truc compliqué avec des a et des b, je te laisse faire les calculs) [2].

      On déduit de [1] et [2] que : b×4 = (un truc compliqué) (ben oui : si y_C égale un truc et y_C égale un machin, c'est que un truc égale un machin).

      Reste à simplifier cette égalité. Si l'énoncé ne se trompe pas, on doit trouver b = -8a.

      Question 5

      C a pour coordonnées x = 4 et y_C = inconnu. Mais C appartient à une droite dont on connaît l'équation (soit T1 soit T2 : choisis celle qui a l'équation la plus simple !), il suiffit donc de remplacer x par 4 pour obtenir c.
      .
      Par exemple si l'équation était y = 2x + 1, on en déduirait que y_C = 2 x_C + 1 = 2×4 + 1 = 9. Coordonnées de C : (4; 9).
      .
      Sauf que ce n'est pas ça, l'équation.
      .
      − Connaît-on l'équation de T1 ? Oui, elle a été calculée en 2). Elle dépend de b, mais on sait maintenant que b = -8a.
      .
      − Connaît-on l'équation de T2 ? Oui, elle a été calculée en 3). Elle dépend de a et b, mais on sait maintenant que b = -8a.
      .
      Tu dois choisir soit l'équation de T1, soit l'équation de T2. Je trouve qu'il y en a une qui est un petit peu plus simple que l'autre...

      Question 6

      Z a pour coordonnées x = 4 et y = f(4) (puisqu'il est sur la courbe représentative de f !). Il faut donc calculer f(4) en n'oubliant pas que c = 0 et b = -8a. Normalement il ne devrait plus rester que des a.
      .
      La suite plus tard...

      -
      Edité par robun 8 février 2022 à 17:52:35

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        13 février 2022 à 15:33:31

        Salut !

        Tu es pas au Lycée Marcel Sembat toi ?

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        Problème mélangeant : Second degré et dérivation

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