Bonjour,

Ca fait un petit moment que je n'ai pas fait de probabilité et voilà que je suis confronté à un problème pas évident.

Lorsqu'on lance un dès, il peut y avoir 2 issues possible :
- Si le résultat > R => échec;
- Si le résultat <= R => réussite

Avec R quelconque compris entre [1;6[ (si c'est un dès à 6 face).

Je lance n dès et j'obtiens un certains nombre de réussites ou d'échecs.
Jusqu'ici tout va bien, je peux calculer le nombre de succès probable avec une loi binomiale:

<math>\(P(X = k) = (n! / (k! * (n - k)!)) * (p^k * q^n^-^k)\)</math>

avec k, le nombre de succès; p, la probabilité de réussite; q, la probabilité d'échec.

Mais les choses se compliquent car je souhaite maintenant pouvoir relancer les dès ayant obtenus des réussites.
Ainsi, si au premier lancer, avec 4 dès j'obtiens :
[S,S,S,E]
Je relancerai 3 dès.
Si à ce deuxième lancer j'obtiens :
[S,S,E]
je relancerai 2 dès.
Et si enfin à ce dernier lancer j'obtiens :
[E,E]
Je ne relancerai pas de dès.
Je comptabilise les succès -> 5 succès.

La question que je me pose dans ce cas-là c'est : quelle était la probabilité d'obtenir 5 ?
Et plus généralement, quelle est la probabilité d'obtenir k succès ?

On peut éventuellement limiter le nombre de lancer de dès maximum si ça peut simplifier le problème.

L'idée, c'est qu'une fois que j'aurais trouvé une simplification mathématique, je pourrais faire chercher les solution par mon ordinateur.

Mais, je galère beaucoup pour trouver une solution.
Est-ce que quelqu'un aurait une idée d'une marche à suivre?

Merci.

Je vais noter <math>\(p_n^k\)</math> la probabilité d'avoir <math>\(k\)</math> succès lors d'un seul lancer de <math>\(n\)</math> dés.
On retrouve ta loi binomiale :

<math>\(p_n^k = {n \choose k}(\frac{R}{6})^k(1-\frac{R}{6})^{n-k}\)</math>

Ensuite, pour avoir exactement, suivant tes règles, <math>\(m\)</math> succès, il suffit de voir de quelles manières on peut décomposer <math>\(m\)</math> en somme d'entiers inférieurs ou égaux à 5.
Maintenant, je note <math>\(P_l(m)\)</math> la probabilité d'avoir exactement <math>\(m\)</math> succès en commençant avec <math>\(l\)</math> dés et en suivant tes règles.
On peut écrire quelque chose du genre :

<math>\(P_l(m) = \displaystyle{\sum_{i = 0}^{l}} p_l^i * P_i(m-i)\)</math>

(et <math>\(P_l(m) = 0\)</math> si <math>\(m < 0\)</math> pour simplifier )

<math>\(i\)</math> est simplement le nombre de succès obtenus lors d'un lancer.
A partir de là, ce doit être faisable d'avoir une résolution informatique .

EDIT : ou bien alors, tu lis l'analyse de GéoMl17, qui est tout à fait correcte et bien plus simple .
(Et j'obtiens les mêmes résultats que ceux donnés par sa formule .)

Tu peux commencer par calculer pour un dé la probabilité p(k) de réussir k fois avant d'échouer. Ensuite tu mets ce p là dans ta formule.

Salut,

Ce problème est très intéressant !
Tout d'abord la première remarque que l'on peut faire c'est que ça n'a pas d'importance de jeter les dés simultanément ou les uns après les autres. Autrement dit, je peux très bien faire :

• Je jette le premier dé jusqu'à ce que j'ai un échec
• Puis je jette le deuxième dé jusqu'à ce que j'ai un échec
• ...
• Enfin je jette le n^ème dé jusqu'à ce que j'ai un échec. (n c'est le nombre de dés)

Et à la fin je fait la somme de mes succès. Ce problème revient au même par rapport au tien.

Mais maintenant comme je ne me sert jamais de deux dés à la fois, je peux très bien considérer que je n'en ai qu'un. Autrement dit : Je jette mon dé jusqu'à ce que j'ai eu n échecs et à mon n^ème échec je m'arrète et je compte mes succès. Ce problème est encore équivalent au tien.

Du coup la question que tu poses est : quelle est la probabilité d'avoir eu exactement k succès avant le n^ème échec.
Pour que ça soit le cas, il faut :

• que tu ai lancé ton dé exactement n+k fois et que tu ai eu n échecs et k succès
• que le dernier de tes n+k lancé soit ton n^ème échec.

La probabilité de faire ça est :


Le q au début correspond à la proba que le lancé n+k soit un échec, la combinaison c'est le nombre de façon de placer les k succès parmis les n+k-1 premiers lancers et <math>\(p^k q^{n-1}\)</math> c'est la proba que chacune de ces combinaisons (k succès et n-1 échecs) se produise.

Voilà une réponse très clair, merci.
Une simplification du problème efficace.

Merci à Cyprien aussi pour sa manière de procéder.