Bonjour,
J'ai essayé de faire un exercice sur les matrices et j'ai un problème sur le calcul des valeurs propres, l'énoncé me dit que je dois trouver que 0 est la seul valeur propre, je trouve 0 et autre chose...

Je vous donne la matrice (avec l'énoncé au cas ou je me serais trompé dans ma matrice) :

Soit E un ev réel, avec une base <math>\(B=(e_1,e_2,e_3)\)</math>, a est un réel non nul.
On considère l'endomorphisme <math>\(f_a\)</math> de E définie par :
<math>\(f_a(e_1) = 0 , f_a(e_2)=f_a(e_3) = ae_1 + e_2 - ae_3\)</math>

Bon j'ai trouvé la matrice A de <math>\(f_a\)</math> :

<math>\(A =\begin{pmatrix} 0 & a & a \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -a & -a \end{pmatrix}\)</math>

Ensuite j'ai calculé <math>\(A-\Lambda I\)</math> et j'ai mis sous forme triangulaire sup, mais là j'ai un polynome de degré deux avec au moins une racine non nulle...

Je précise que l'aide fourni devra se passé de déterminant...ce n'est pas au programme de la personne que j'aide...

Merci de votre aide !

EDIT : une erreur latex dans l'écriture de mon endo

L'image de ton application linéaire est la droite dirigée par le vecteur <math>\((a,1,-a)\)</math> donc clairement si il y a des vecteurs propres de valeur propre différentes de 0, ça ne peut être que les vecteurs de cette droite. Si tu calcules l'image de <math>\((a,1,-a)\)</math> tu trouves effectivement que c'est un vecteur propre et sa valeur propre est <math>\((1-a)\)</math>.

Par conséquent si <math>\(a\ne 1\)</math>, il y a une valeur propre non nulle : <math>\(1-a\)</math>

C'est ce que je trouvais, sauf que :

Citation : énoncé

Montrer que 0 est la seule valeur propre de A

Et, sauf si l'énoncé est très mal fait, on ne me demande pas de trouver des conditions sur a pour que ça marche...

(EDIT : l'énoncé manque de quantificateur...il n'y a pas de pour tout a non plus...)

Citation : clades

là j'ai un polynome de degré deux avec au moins une racine non nulle...

Je précise que l'aide fourni devra se passé de déterminant...ce n'est pas au programme de la personne que j'aide...

Tu fais comment pour calculer le polynôme caractéristique sans déterminant ?

En fait la personne que j'aide est en prépa ECE, et là-bas la méthode qu'ils ont reste assez semblable au déterminant (enfin l'idée y est...)

Ils calculent <math>\(A-\lambda I\)</math>, mettent cette matrice sous forme triangulaire supérieur, et cherchent les valeurs pour lesquels chaque "case" de la diagonale s'annule, ce qui revient à faire le déterminant en effet...mais ils ont pas le droit de le citer, donc sont obliger de passer par la triangularisation...

Bref, erreur d'énoncé ou pas... ?

Oui, posé comme ça, il y a une erreur dans l'énoncé. Il y a une valeur propre non nulle si <math>\(a\ne 1\)</math>.