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Problème trigonométrie

    7 mai 2021 à 0:38:41

    Salut, je me suis heurté à un problème en essayant de faire un design d'une table et malgré sa simplicité je n'ai pas pu résoudre le truc.

    Donc j'aimerai trouver les valeurs de X et Y en fonction des deux segments E et Z et l'angle Alpha.

    le segment vertical représente la longeur de Z et non pas Z + E

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    "C'est un coup du sort étrange : tout les hommes dont on a ouvert le crâne avaient un cerveau" . Wittgenstein.
      7 mai 2021 à 11:18:49

      Bonjour ! Est-ce que tu as regardé du côté de la formule d'Al Kashi ? Ça ressemble mais je n'ai pas trouvé comment l'utiliser ici.

      J'ai trouvé une façon de procéder, mais c'est très calculatoire et j'imagine qu'il y a plus simple.

      Notations :

      • Je note ABC le triangle avec A = sommet du côté de l'angle  \( \alpha \), B = sommet du coté de E, et C = sommet du côté de Z. Ainsi Y = AB et X = AC.
      • Je note H la hauteur issue de A sur [BC]. Ainsi E = BH et Z = HC.
      • Je note \( \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \) où \( \alpha_1 \) est l'angle BAH et \( \alpha_2 \) est l'angle HAC. Attention : ce sont des angles de droite, ici compris entre 0 et 90° (pas des angles orientés de vecteurs).
      • Je note \( k = \dfrac{E}{Z} \), \( T = \tan \alpha \) et \( t = \tan \alpha_1 \).
      Formule trigo : \( \tan \alpha_2 = \tan(\alpha - \alpha_1) = \dfrac{T-t}{1+Tt} \)
      .
      But : déterminer \( \alpha_1 \) et \( \alpha_2 \). Car alors :
      \( Y \sin \alpha_1 = E \;\; ; \;\;\;\;\; X \sin \alpha_2 = Z \)
      .
      et donc :
      \( Y = \dfrac{E}{\sin \alpha_1} \;\; ; \;\;\;\;\; X = \dfrac{Z}{\sin \alpha_2} \)
      .
      On a :
      \( AH \tan\alpha_1 = E \) et \( AH \tan\alpha_2 = Z \)
      .
      On divise :
      \( \dfrac{\tan \alpha_1}{\tan \alpha_2} = \dfrac{E}{Z} \)
      .
      Avec la formule trigo, ça donne :
      \( \dfrac{(1+Tt)t}{T-t} = k \)
      .
      et on obtient une équation du second degré (d'inconnue t) :
      \( Tt^2 + (k+1)t - kT = 0 \)
      .
      avec 
      \( \Delta = (k+1)^2 + 4 kT^2 \) qui est strictement positif.
      .
      Les deux solutions sont :
      \( t = \dfrac{-(k+1) \pm \sqrt{(k+1)^2 + 4 kT^2}}{2T} \)
      .
      On voit qu'il y a une solution positive, une négative (car ce qui est dans la racine carrée est forcément > k+1). Or \( \alpha_1 \) est un angle entre 0 et 90°, donc on prend la solution positive :
      \( \alpha_1 = \arctan \left( \dfrac{-(k+1) + \sqrt{(k+1)^2 + 4 kT^2}}{2T} \right) \)
      (Il me semble qu'on doit pouvoir simplifier en trouvant une formule pour \( \sin\alpha_1 \) à partir de sa tangente.)
      .
      De là on en déduit \( \alpha_1 \) et \( \alpha_2 \), d'où X et Y comme expliqué au début du message.
      .
      Je ne serais pas étonné qu'il y ait plus simple ! :) (Et il y a sûrement des erreurs de calcul. Mais la méthode est correcte je crois.)

      -
      Edité par robun 7 mai 2021 à 12:02:24

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        10 mai 2021 à 0:36:20

        robun a écrit:

        Avec la formule trigo, ça donne :
        \( \dfrac{(1+Tt)t}{T-t} = k \)
        .

        -
        Edité par robun 7 mai 2021 à 12:02:24


        Merci pour ta réponse, malheureusement le résultat est incorrect et je ne sais pas quelle formule exactement tu as utilisé pour obtenir le k
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        "C'est un coup du sort étrange : tout les hommes dont on a ouvert le crâne avaient un cerveau" . Wittgenstein.
          10 mai 2021 à 3:40:18

          Veux-tu faire un essai avec un aveugle? :)
          Décris la figure ou donne des coordonnées fictives mais réalistes des points de e et z
          Je sais que z est verticale.
          Je suppose que l'angle alpha est entre une extrémité de z et l'autre à partir de l'autre extrémité de e ...
          Je ne suis pas trop affreux en trigo ...
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          Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

            10 mai 2021 à 12:21:31

            Pierrot : soit un triangle ABC où [BC] est dessiné verticalement. Le sommet A est à droite du côté [BC]. Soit H le pied de la hauteur issue de A sur [BC].

            Notations de Vertinhol : X = AB, Y = AC, Z = HC et E = HB. L'angle CAB est noté alpha.

            But : connaissant alpha, E et Z, en déduire X et Y.

            (Faire varier alpha avec E et Z fixés revient à déplacer A (horizontalement) sur la droite (HA).)

            ---------------------------------------------

            Vertinhol : ah, il y a peut-être des erreurs de calcul. Tu as pu suivre mes calculs ?

            Pour la formule trigo, c'est une avec les tangentes. Je suis parti de \( \dfrac{\tan \alpha_1}{\tan \alpha_2} = k \)

            Comme \( \alpha_2 = \alpha - \alpha_1 \), ça donne : \( \dfrac{\tan \alpha_1}{\tan (\alpha - \alpha_1)} = k \)

            Or on sait (formule trigo) que \( \tan (a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b} \).

            Du coup :  \( \dfrac{\tan \alpha_1}{\dfrac{\tan \alpha - \tan \alpha_1}{1+\tan \alpha \tan \alpha_1}} = k \)

            Avec les t et T : \( \dfrac{t}{\dfrac{T - t}{1+T t}} = k \)

            (Attention, le but n'était pas d'obtenir k, puisque k = E/Z qui est connu. Le but était de trouver une équation d'inconnue t, c'est-à-dire \( \alpha_1 \), à partir de k.)

            -
            Edité par robun 11 mai 2021 à 14:15:25

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              11 mai 2021 à 14:14:02

              J'ai passé un peu de temps à vérifier en essayant plusieurs exemples (j'ai fait les calculs avec l'interpréteur Python, il faut juste faire attention aux degrés et aux radians quand on compare avec un dessin).

              Dans ce cas de figure, il y a deux hypothèses :

              H1) Il y a des erreurs dans mes calculs.

              H2) Vertinhol, tu as commis des erreurs en appliquant l'algorithme (par exemple oubli de la conversion degrés/radians).

              As-tu vérifié l'hypothèse 2 ?

              -
              Edité par robun 11 mai 2021 à 14:14:53

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