Bonjour,

j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre depuis plusieurs jours. 

Tout d'abord, je vous explique le problème.
Il y a une table elliptique et les deux foyers sont F'(-26,0) et F(26,0).
SI une boule de billard passe entre les deux foyers elle y repassera toujours. De plus, chaque trajectoire sera tangente à une hyperbole qui a les même foyers.
Si une boule de billard est placée sur le foyer F'(-26,0) et qu'une personne fait ricocher la boule sur la bande au point P qui est placé à l'intersection de l'ellipse et de l'hyperbole de droite. Est-ce que la boule renversera un objet placé au point (30,20) sachant que ||F'P|| = 66cm et ||PF|| = 26 cm.

J'espère avoir clairement expliqué la situation.

Ma difficulté ici est de savoir par quoi commencer. Qu'est-ce que je dois trouver en premier.
Je crois que je devrais peut-être débuter par trouver l'équation de l'ellipse sous la forme x²/a² + y²/b² = 1 et ensuite trouver celle de l'hyperbole pour finalement déterminer le point P.

Une propriété de l'ellipse est que si tu pars d'un foyer et que tu rebondis sur l'ellipse, tu passes par l'autre foyer.
Donc la boule va passer de F' à P, puis par F, rebondir une deuxième fois et repasser par F'.

Il suffit donc de voir si le point (30,20) se trouve sur une des droites (PF) et (PF')... tout en étant à l'intérieur de l'ellipse bien sûr.

Pour ça, tu calcules l'équation de l'ellipse puis les coordonnées de P. Tu n'as pas besoin de l'hyperbole.

Pour trouver l'équation de l'ellipse, je dois trouver les coordonnées du point P et pour y arriver je dois avoir l'équation de l'hyperbole, non?

Par ailleurs, je ne suis pas sûr de savoir comment vérifier si le point (30,20) est sur la droite.

IsaacNolan1 a écrit:

Par ailleurs, je ne suis pas sûr de savoir comment vérifier si le point (30,20) est sur la droite.

T'es qui, toi, pour vouloir calculer l'équation d'une ellipse et d'une hyperbole sans être capable de vérifier si un point est aligné avec deux autres ? 

Je n'ai que la norme des droites et deux points qui sont les foyers. De plus, je dois trouver la réponse en utilisant les vecteurs.

Pour trouver l'équation de l'ellipse, je dois avoir les sommets et les coordonnées du point P que je n'ai pas.

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Edité par IsaacNolan1 12 juillet 2019 à 15:23:23

IsaacNolan1 a écrit:

Il y a une table elliptique et les deux foyers sont F'(-26,0) et F(26,0).
sachant que ||F'P|| = 66cm et ||PF|| = 26 cm.

Ces seules informations suffisent à trouver l'équation de l'ellipse.

Il y a quelque chose qui m'échappe, puisque je n'arrive pas à trouver l'équation.

Si l'équation d'une ellipse est bien x²/a² + y²/b² = 1 

L'énoncé ne te donne pas \(a\) et \(b\). C'est à toi de les trouver, sinon ce n'est plus un exercice.

Tu as un point de l'ellipse (le point P) dont tu ne connais pas les coordonnées, mais tu connais sa distance à chacun des deux foyers.
Tu connais la particularité de la distance entre un point de l'ellipse et les foyers de l'ellipse ?

C'est la longueur du plus grand axe de l'ellipse?

Oui.
Mais la distance aux foyers a une autre propriété intéressante qui permet d'obtenir l'équation directement. Ou d'obtenir \(b\) à partir de \(a\).

Par contre ton histoire d'hyperbole, c'est bizarre : une hyperbole n'a pas de tangente qui passe par ses foyers. Y a un loup...

En fait, c'est écrit : Si une boule passe entre les deux foyers d'une table elliptique, elle y repassera toujours. Chaque trajectoire sera tangente à une hyperbole qui a les mêmes foyers que l'ellipse.

Je crois avoir trouvé a et b. J'ai utilisé la formule a² = b² + c²

a = (66+26) / 2

c = la distance entre un foyer et le centre (je crois)

Ben voilà !

Maintenant, je dois trouver x et y pour avoir l'équation de l'ellipse.

De plus, je ne vois toujours pas comment vérifier si la boule va passer par le point (30,20).

IsaacNolan1 a écrit:

Maintenant, je dois trouver x et y pour avoir l'équation de l'ellipse.

Pour toi, c'est quoi une équation ? Des chiffres tout seul, avec un signe "égal" au milieu ?
Dans une équation, il y a toujours des variables.

IsaacNolan1 a écrit:

De plus, je ne vois toujours pas comment vérifier si la boule va passer par le point (30,20).

Il faut que tu calcules P pour le savoir.

EDIT:

À vrai dire je me rends compte que tu peux connaître les coordonnées de P rien qu'avec les coordonnées des points F et F' et les distances PF et PF'.
Il y a deux solutions, évidemment. Et l'énoncé que tu donnes ne permet pas de trancher entre les deux.

C'est bizarre ton truc, parce que je ne vois pas ce que viennent faire ni les vecteurs, ni l'hyperbole.

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Edité par Zachee54 12 juillet 2019 à 17:33:08

Alors, j'ai l'équation de l'ellipse, mais je ne vois toujours pas comment trouver P.

Ensuite avec P et F je vais pouvoir trouver l'équation de la droite PF.
Finalement, avec l'équation de la droite PF, je vais pouvoir déterminer si la boule passe par le point (30,20).

Est-ce que c'est bien cela?

Je pense bien, oui, mais encore une fois je ne vois pas le rapport avec les vecteurs ni l'hyperbole.

Ca ne tient pas compte non plus du fait que la boule peut rebondir plusieurs fois.

Est-ce que l'hyperbole peut être utilisée pour déterminer les coordonnées du point P ?

comme l'a dit à plusieurs reprises Zachee54, je ne vois pas ce que vient faire cette hyperbole parfaitement inutile pour trouver les coordonnées de P. Et connaissant PF et PF', vous n'avez même pas besoin de vous préoccuper de l'ellipse pour trouver ces coordonnées.

P se trouve à l'intersection des deux cercles de centre F ( 26,0),F'( -26,0)  et de rayon respectifs 26 et 66.Leurs équations sont:

\((x-26)^2+y^2=26^2\)

\((x+26)^2+y^2=66^2\)

Par soustraction et en utilisant une identité remarquable, on obtient facilement \(x=\frac{460}{13}\sim 35,38\). En reportant dans une des équations , on en tire les deux valeurs possibles de \( y \sim \pm 24\)

La suite du calcul devrait montrer  que (30,20) est intérieur à l'ellipse mais n'appartient ni à FP ni à F'P

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Edité par Sennacherib 13 juillet 2019 à 16:13:48

Sur le graphique P se trouve vers le coin supérieur droit de l'ellipse. Je ne vois pas comment P peut être à l'intersection de deux cercles.

As-tu dessiné ces deux cercles ?

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Edité par Sennacherib 14 juillet 2019 à 23:22:58

Effectivement, vous avez raison.

Cependant, après plusieurs recherches pour comprendre votre réponse, puisque je ne comprennait pas tout. J'ai remarqué que dans mon livre j'avais seulement vu la formule du cercle centré à l'origine. Je ne savais pas comment utiliser les paramètes h et k.

Je me demande alors s'il y avait une autre solution à ce problème? Est-ce qu'une solution utilisant la formule de l'hyperbole est possible?


Merci encore de m'aider.