Bonjour, aujourd'hui nous avons vu qu'il est possible d'utiliser le produit scalaire afin de calculer des sommes de vecteurs de force.
Cependant, bien que je sais que le produit scalaire se mesure notamment en projetant les coordonées x d'un vecteur sur un autre comme le montre le dessin de wikipedia, je n'arrive pas à percevoir la réalité physique qui en découle.

Pouvez-vous m'expliquer ?
Merci

Bah que veux-tu savoir exactement ?
C'est compliqué d'expliquer la réalité physique de quelque chose qui n'a pas tellement de sens physiquement.
Ton produit scalaire il est défini dans un certain espace, et par une certaine forme bilinéaire symétrique. En physique généralement on utilise le produit scalaire usuel mais sache que tu peux définir autant de produits scalaires différents que tu veux et qui n'ont pas de sens physique.

Oui mais mettons par exemple qu'on a comme sur le schéma, deux vecteurs de 4 cm de long et que l'angle les séparant est de 45°.
On tombe donc sur un produit scalaire d'environ 2.8 cm.

Mais qu'est ce que cela signifie physiquement ?

Pour faire simple, on va prendre un exemple.

Il faut bien comprendre que dans un repère orthonormé(x parallèle à y, x et y de longueur 1), le produit scalaire d'un vecteur sur un autre (et inversement puisqu'il est symétrique) est le projeté orthogonal de ce vecteur sur l'autre. Physiquement:

Imagine un planeur qui vole : il est soumis à son poids, une force de frottement et à la portance.

Le poids est toujours dirigé dans la même direction (ie vers le centre de la Terre). Par définition, la portance est perpendiculaire au vecteur vitesse de ton planeur et la traînée parallèle (définition importante). Cependant, la portance d'un planeur n'équilibre JAMAIS le poids de ton planeur (en effet, celui-ci est toujours sur une pente descendante), c'est ce qu'on appelle la résultante aérodynamique qui est la somme de la traînée et de ta portance.
Supposons maintenant que tu connaisses l'angle de descente de ton planeur ainsi que sa masse (donc a fortiori son poids). Je te laisse faire le dessin.
Maintenant, prends un système de coordonnées tel que l'axe x soit dans la direction de ton vecteur vitesse et y parallèle à la portance. A partir des données, puisque la résultante équilibre le poids, tu peux en effectuant le projeté orthogonal de ta résultante sur les axes x et y retrouver la valeur de ta portance ainsi que celle du poids. Il suffit en fait d'effectuer le produit scalaire de ta résultante par x, respectivement y.


Pour conclure, un produit scalaire permet de déterminer une restriction d'un phénomène sur un domaine. J'espère avoir été assez clair.

Bon après-midi.

Marc

Tout d'abord merci d'avoir pris la peine d'écrire cette explication !

Donc si j'ai bien compris, le produit scalaire équivaut à décomposer une force en projetant ses composantes sur un autre vecteur, permettant ainsi de voir quel effet supplémentaire exerce cette force sur une autre ?

C'est pas vraiment un effet supplémentaire, mais ça permet par exemple d'étudier l'effet d'une force dans une certaine direction de l'espace.

oui voila, tu sais que si tu as une force représentée par un vecteur (en 2d, faisons simple), tu peux dire que c'est équivalent à une force en x et une force en y par exemple.

Bah le produit scalaire est en quelques sorte la généralisation de la composante d'un vecteur multi-dimentionel sur une dimension, mais ce peut importe la direction de cet axe.

Vous ne précisez pas votre niveau , j'espère que ce qui suit restera assez accessible pour vous faire toucher du doigt ( en trés raccourci malgré la longueur apparente!) le rôle fondamental du produit scalaire.

Pour commencer il me semble sur l'exemple que vous donnez, vous n'avez pas bien assimilié la définition du produit scalaire.
En clair, deux vecteurs de longueur A = 4,B = 4 et d'angle 45° ont un produit scalaire de
4*4*cos(45) et non 4*cos(45)
C'est le produit des longueurs par le cosinus de l'angle.
Cela se réduit à la projection uniquement si le vecteur sur lequel on projette est de longueur unité.
Cette erreur est, dans un sens bénéfique, car elle permet d'introduire le sens simple et profond du produit scalaire.
Limitons nous à considérer le repère cartésien usuel du plan avec ses deux vecteurs unités i et j
Un point M de coordonnées x,y dans ce repère est associé à un vecteur OM = x.i+y.j
Alors les composantes x et y de M ne sont autres que le produit scalaire de OM par i et j
C' est vrai parce que, contrairement à votre exemple , les vecteurs i et j sont unitaires. De plus ils sont perpendiculaires donc leur produit scalaire i.j est nul. C'est cohérent avec la définition précédente puisque cos(90)=0
Donc, même si on le perd de vue dans la géométrie élémntaire, le produit scalaire, c'est ce qui permet de définir l'orthogonalité, les angles entre vecteurs, leur longueur, la mesure d'un vecteur quelconque dans un repère. ( remarquons que rien n'oblige à utiliser des vecteurs i,j unité et perpendiculaires pour définir un repère mais les calculs deviennet tout de suite plus compliqué!).
Toutes ces notions n'existent pas dans une espece vectoriel général sans produit scalaire.
La géométrie de l'espace, c'est le produit scalaire. Et il existe des produits scalaires bien plus compliqués que celeui dont on parle ici qui définissent par exemple des géométries où la ligne droite n'est pas le plus court chemin d'un point à un autre.

Que vient faire dans la physique ce produit scalaire qui semble un exercice de style mathématique?

Je viens de dire sans produit scalaire pas de géométrie, donc pas d'espace physique que l'on sache mesurer; je pourrais m'en tirer avec une pirouette ..donc pas de physique.

Soyons un peu plus pragmatique et reprenons l'exemple que vous avez suggéré: les forces.
Une force comme beaucoup de grandeur physique sont des grandeurs intrinséques . Elles existent indépendamment de la façon dont on les représente. Mais si on veut faire des calculs, il faut bien représenter ces grandeurs.
Certaines sont des scalaires ( énergie, travail, température,pression, ... ) d'autres sont représentables par des vecteurs, ( vitesses, forces, champ électrique, ...), des grandeurs physiques ont des représentations plus compliquées ( tenseurs, n'en disons rien ). Concentrons nous sur les vecteurs et leur lien avec le produit scalaire.

Une force est définie par la donnée d'une direction orientée et d'un module ( intensité). Elle est bien représentable par un vecteur. Les composantes de ce vecteur dans un repère i, j (k en 3D) comme je l'ai expliqué seront des produits scalaires avec ces vecteurs de base.
Plus généralement, si j'ai besoin de connaitre la composante de la force pour connaitre son action dans une direction de vecteur unitaire u , différente de i ou j , je serai amené à calculer le produit scalaire de F par u.

Une propriété trés utile du produit scalaire est sa linéarité
Ainsi la somme de plusieurs forces F = F1+F2+F3...la composante de la somme F sur une direction u sera la somme des composantes des forces partielles.

Enfin, et c'est un point dont vous découvrirez progressivement le rôle essentiel
Le produit scalaire entre certaines grandeurs physiques( bien choisies...) permet de définir de nouvelles grandeurs scalaires qui ont un sens physique intrinséque précis .
Restons dans le domaine simple de la force F pour un seul, exemple: le produit scalaire de la force par le vecteur déplacement sera le travail fourni.

Je me permets une explication de l'emploi d'un produit scalaire pour l'expression du travail d'une force.

Imagine un solide soumis à une force <math>\(\vec{F_z}\)</math> dirigée vers le bas, une force <math>\(\vec{F_x}\)</math> dirigée horizontalement. Ce solide, pour une raison ou une autre (par exemple, il est sur un rail), ne se déplace qu'horizontalement. Tu es d'accord pour dire que la force <math>\(\vec{F_z}\)</math> (dirigée vers le bas) n'a aucune influence sur le mouvement : on dit qu'elle ne travaille pas.
Maintenant, imaginons que notre solide est soumis à une force quelconque <math>\(\vec{F}\)</math> mais se déplace toujours horizontalement. On peut décomposer <math>\(\vec F = \vec{F_x}+\vec{F_z}\)</math> avec <math>\(\vec{F_z}\)</math> verticale et <math>\(\vec{F_x}\)</math> horizontale. La composante verticale ne travaille pas : le travail est uniquement dû à la composante horizontale. Comment obtenir cette composante <math>\(\vec{F_x}\)</math> en fonction de <math>\(\vec{F}\)</math> ? Avec un produit scalaire : <math>\(\vec{F_x} = \vec {F} . \vec{u_x}\)</math> (<math>\(\vec{u_x}\)</math> est le vecteur unitaire orienté selon x). Le travail est donc proportionnel au produit scalaire de <math>\(\vec{F}\)</math> et du vecteur <math>\(\vec{u_x}\)</math>.
Cependant, tu vois bien que mon choix de prendre les directions horizontale et verticale est arbitraire, ce qui compte c'est que le travail est proportionnel au produit scalaire de <math>\(\vec{F}\)</math> et d'un vecteur orienté selon la direction du mouvement.

J'espère avoir été assez clair.

Tu peux voir ça comme un produit de matrices aussi.