je m'intéresse beaucoup à la mécanique quantique, mais je n'ai pas encore un niveau suffisent en math que pour pouvoir me plonger dans les formules et les calcules "complexe". Néanmoins, il y a des concepts mathématique qui reviennent assez souvent, mais que je ne comprends pas du tout en comparaison avec le reste. Je parle de ceux-ci :
Les produits tensoriels (symbole → ⊗) ;
Les produits (symbole → ∏);
Les intégrales (symbole → ∫).
J'ai cru comprendre que le produit tensoriel définit un espace vectoriel de dimension définie; mais à part ça... Par exemple, on donne le système de deux particules se situant en état de superposition quantique :
Avec :
Et
Je saisis le concept de base, mais je ne comprends pas la signification des produits tensoriels ici présent... J'imagine que, puisque les particules sont liées grâce à l'intrication quantique, il y a un lien, mais je ne vois pas lequel dans les grandes lignes, et c'est frustrant.
Concernant les produits, il me semble que c'est un simple moyen de définir x itération d'une opération, un peu comme la sommation, mais avec des produits au lieu de sommes (d'où le nom j'imagine...) Ce que j'ai un peu plus de mal à comprendre, c'est l'utilisation différente du produit à la sommation.
Et enfin, les intégrales, souvent utilisé pour faire des opérations sur des fonctions, et grâce à des "intervalles" si j'ai bien compris, mais dans quel but...
Désoler si ce ne sont pas des questions très précises, mais cela m'aidera que vous m'aidiez à comprendre mieux
Je vous remercie.
- Edité par vanaur 19 juillet 2018 à 22:25:11
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La Somme : tu ne poses pas la question, mais je vas commencer par ça
Somme(2, 4, 7) , ça vaut 13. C'est la somme des termes qui sont dans la liste. On utilise souvent le symbole Sigma pour désigner une somme.
Produit( 2, 4, 7) , ça vaut 56 : C'est le produit des nombres qui sont dans la liste. On utilise souvent le symbole Pi pour désigner un produit.
Dans ces 2 cas, on a une liste discrète. Ca veut dire quoi, ça veut dire qu'on a une liste de nombres, qu'on peut lister. Parfois, ça peut être une liste infinie : Somme(1/n²) , pour tout n entier naturel positif. Mais ça reste une liste discrète.
L'intégrale, c'est un peu la généralisation de la Somme, mais pour une liste qui n'est pas discrète. En fait, une intégrale, ça sert à calculer une surface. J'ai par exemple la courbe d'équation y =x²+1. Je veux calculer la surface limitée par cette courbe, et par les 3 droites d'équation y= 0, x=-5 et x=5.
Je vais calculer l'intégrale de la fonction y=x²+1 pour x entre -5 et 5. Tu peux rechercher approximation intégrale trapèzes, ou approximation intégrale rectangles pour en savoir plus.
Soit dit en passant, les concepts mathématiques que tu évoque ne sont absolument pas dépendant de la mécanique quantique. La mécanique quantique utilise ces concepts comme plein d'autres champs de la physique.
Je sais. Mais puisque je les vois dans le domaine de la mécanique quantique, je préfère préciser, on ne sait jamais que quelqu'un apporte une solution en adéquation ou autres.
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Le résultat peut troubler car les deux systèmes sont parfaitement équilibrés ... c'est probablement la démonstration recherché par l'équation que tu as partagé : présenter une intrication parfaite !
En espérant avoir pu t'aider (il se fait tard, dodo ...).
Est-ce correct (il y a peut-être (certainement même) des erreurs, je n'ai pas l'habitude d'écrire ça) ?
yarflam a écrit:
Le résultat peut troubler car les deux systèmes sont parfaitement équilibrés ... c'est probablement la démonstration recherché par l'équation que tu as partagé : présenter une intrication parfaite !
En effet, c'est le but recherché
Par contre, je n'ai pas vraiment compris l'étape de la normalisation, cela sert-il juste à présenter le résultat autrement ? Parce qu'il n'y a pas de différence avant et après ai-je l'impression.
yarflam a écrit:
il se fait tard, dodo ...
Tu as raison, je devrai y aller maintenant
Merci encore et d'avance.
- Edité par vanaur 14 août 2018 à 1:43:40
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"Donc, le produit tensoriel (au niveau mathématique), c'est simplement un produit matriciel ?"
Ta formule semble juste en effet. C'est un produit de vecteurs, c'est toute la différence avec le simple produit matriciel - on étire la matrice. Sur la page wiki du produit matriciel la différence est marquante entre le produit (matriciel) d'Hadamard et le produit (tensoriel) de Kronecker.
"Par contre, je n'ai pas vraiment compris l'étape de la normalisation, cela sert-il juste à présenter le résultat autrement ? Parce qu'il n'y a pas de différence avant et après ai-je l'impression."
La normalisation permet de ré-équilibrer les éléments d'un même vecteur pour qu'ils puissent s'inscrire dans un cercle, une sphère ou une hypersphère de dimension n. Puis-ce que nos vecteurs A & B ont chacun deux états superposés, on se limitera au théorème de Pythagore sur un plan en 2 dimensions :
p = sqrt( A0² + A1² )
A' = norm(A) = A0/p|0> + A1/p|1>
Au lieu d'avoir 0.5, on a des coordonnées inscrites de 0.707106.
L'avantage c'est que peu importe les paramètres que l'on donne au vecteur, la normalisation le remettra en ordre.
La valeur de A aurait pu être égale à 1|0> + 1|1>, ça n'aurait pas changé le résultat du produit tensoriel C.
En mécanique quantique, on travaille avec des matrices infinies. L'avantage c'est que le théorème de Pythagore peut parfaitement s'étendre sur des hyper-dimensions : sqrt( A0² + A1² + A2² ... + An² ). On appliquera ensuite la division sur chacun des termes.
J'espère avoir été assez claire. Mon propos n'est pas forcément conforme à ce qu'un "vrai" mathématicien attend. J'ai appris ça par expérience en développant mon propre simulateur d'ordinateur quantique (inspiré de Quantum Playground), non par les théorèmes.
C'est très intéressant et instructif tout ça, je te remercie
yarflam a écrit:
Ta formule semble juste en effet. C'est un produit de vecteurs, c'est toute la différence avec le simple produit matriciel - on étire la matrice. Sur la page wiki du produit matriciel la différence est marquante entre le produit (matriciel) d'Hadamard et le produit (tensoriel) de Kronecker.
Donc on utilise le produit tensoriel pour avoir en fait un produit de vecteurs.
yarflam a écrit:
La normalisation permet de ré-équilibrer les éléments d'un même vecteur pour qu'ils puissent s'inscrire dans un cercle, une sphère ou une hypersphère de dimension n. Puis-ce que nos vecteurs A & B ont chacun deux états superposés, on se limitera au théorème de Pythagore sur un plan en 2 dimensions : ...
C'est logique, en effet.
yarflam a écrit:
J'espère avoir été assez claire. Mon propos n'est pas forcément conforme à ce qu'un "vrai" mathématicien attend.
C'est très clair, ne t'inquiète pas, je pense avoir tout compris.
yarflam a écrit:
J'ai appris ça par expérience en développant mon propre simulateur d'ordinateur quantique (inspiré de Quantum Playground), non par les théorèmes.
Projet intéressant. J'imagine que ce n'était pas très facile. Si cela ne te dérange pas, je serai curieux d'en savoir un peu plus à propos de ton simulateur d'ordinateur quantique
En tout cas, merci beaucoup pour ton aide.
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Pour l'instant mon simulateur quantique (développé en JS) permet de définir un registre, un état intriqué de qubits. On peut passer ce registre dans une porte, j'ai intégré : Hadamard, PauliX (SigmaX), PauliY (SigmaY), PauliZ (SigmaZ), Square Not et Phase Shift. En fonction de la taille du registre, j'ai un algorithme qui permet de dilater une porte pour qu'elle puisse s'appliquer correctement. Du fait de la base Complexe des qubits, le calcul prend également en compte le calcul des imaginaires.
J'ai commencé son développement début février. Laissé un peu de côté pour développer de l'IA, ce qui d'ailleurs m'a apporté plusieurs réponses auxquels j'étais confronté. Tu remarqueras qu'un produit tensoriel est difficilement inversable ... or connaître l'état des particules en dehors de leur situation d'intrication serait (probablement) intéressant, ne serait-ce que pour étudier leur comportement vis-à-vis de l'influence directe avec les autres particules. Je n'ai rien trouvé sur le sujet, mise à part l'expérience gratuite d'IBM qui permet de retrouver l'état des qubits après un passage dans des portes quantiques, ce qui laisse raisonnablement pensé que l'on puisse récupérer ces états. J'ai trouvé un calcul fonctionnel pour deux qubits. Quelques difficultés à le généraliser ... j'ai donc tenté d'utiliser les algorithmes d'optimisations de Tensorflow pour résoudre cette équation. Ça prend du temps mais ça fonctionne ! Pour l'instant j'en suis là ... pas du tout eu le temps de creuser plus. Faut que je m'y remette ! L'objectif à terme sur ce projet, c'est de réfléchir au chiffrement et à la programmation quantique. Ça ne vaudra jamais une machine quantique mais c'est intéressant d'y réfléchir.
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Produit tensoriel, produit et intégral
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