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Puissance de 2 et nombres premiers

    28 mai 2019 à 7:00:42

    Est-ce que quelqu'un a déjà vu (confirmé ou infirmé) la situation ou l'expression suivante:

    2 ^ (2 ^ n) + 1

    serait un nombre premier.

    Cette suite augmente très rapidement et il devient presque impossible de le tester par programmation.

    n=0 > 3

    n=1 > 5

    n=2 > 17

    n=3 > 257

    n=4 > 65537

    etc.

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    Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

      28 mai 2019 à 7:53:35

      ces nombres notés en général \(F_n\)sont connus sous le terme de nombres de Fermat qui avait émis le premier la conjecture \(F_n\) premier.

      Cette conjecture est fausse dés \(n=5\), on tombe sur un nombre non premier. En fait il semble même que seuls les 5 premiers nombres que tu listes soit premiers.

      Ainsi \(F_5=2^{32}+1=4.294.967.297=641*6700417\)

      aujourd'hui on ne connait la décomposition complète, qui comporte en général plus de 2 facteurs premiers ,  que jusqu'à \(n=11\) . On peut trouver cette décomposition sur la page de Wikipédia en anglais ainsi que diverses propriétés de ces nombres .

      -
      Edité par Sennacherib 28 mai 2019 à 8:03:49

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      tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
        29 mai 2019 à 0:26:52

        Merci Sennacherib!

        J'ai trouvé l'équivalent sur la version française de Wikipédia.

        Dans cette version, on dit qu'on sait que ce n'est pas premier jusqu'à n=32 mais on ne sait pas après.

        Le nombre 65537 est généralement utilisé dans les fonctions pseudo-aléatoires.

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