Est-ce que quelqu'un a déjà vu (confirmé ou infirmé) la situation ou l'expression suivante:

2 ^ (2 ^ n) + 1

serait un nombre premier.

Cette suite augmente très rapidement et il devient presque impossible de le tester par programmation.

n=0 > 3

n=1 > 5

n=2 > 17

n=3 > 257

n=4 > 65537

etc.

ces nombres notés en général \(F_n\)sont connus sous le terme de nombres de Fermat qui avait émis le premier la conjecture \(F_n\) premier.

Cette conjecture est fausse dés \(n=5\), on tombe sur un nombre non premier. En fait il semble même que seuls les 5 premiers nombres que tu listes soit premiers.

Ainsi \(F_5=2^{32}+1=4.294.967.297=641*6700417\)

aujourd'hui on ne connait la décomposition complète, qui comporte en général plus de 2 facteurs premiers ,  que jusqu'à \(n=11\) . On peut trouver cette décomposition sur la page de Wikipédia en anglais ainsi que diverses propriétés de ces nombres .

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Edité par Sennacherib 28 mai 2019 à 8:03:49

Merci Sennacherib!

J'ai trouvé l'équivalent sur la version française de Wikipédia.

Dans cette version, on dit qu'on sait que ce n'est pas premier jusqu'à n=32 mais on ne sait pas après.

Le nombre 65537 est généralement utilisé dans les fonctions pseudo-aléatoires.