Bonjour à tous,

Demain je dois passer ma soutenance de TPE qui traitera de l'aérodynamique au travers des oiseaux.

A un moment donné j'ai été amené à parler d'une équation de la force de traînée :

Fx=\(\int\)s p*sin(\(\alpha\)) dS + \(\int\)s \(\tau\)*cos(\(\alpha\)) dS

Où S représente la surface de l'objet, et où \(\tau\) (contrainte de cisaillement) cos(\(\alpha\) sin(\(\alpha\) et p (pression) dépendent de S.

(Pour plus de détails je vous renvoie à un forum que j'avais précédemment ouvert et qui portait sur l'étape précédente à l'expression de Fx :

https://openclassrooms.com/forum/sujet/equation-de-la-force-de-trainee)

Bref j'aimerais savoir ce que veut réellement dire cette équation. Mon prof de math m'a dit que cela importait peu et que le jury ne me poserait pas des questions compliquée à propos de cette formule car elle faisait intervenir des différentielles et des intégrale de surface vu en post bac. Cependant, j'aimerais quand même "à peu prés" avoir une idée précise de ce que raconte cette équation pour rajouter de la valeur ajouter à mon entretien. Ce que je sais pour l'instant c'est que ma formule peut aussi s'écrire comme ça (et encore j'en suis pas sûr) :

Fx=\(\int\)\(\int\)s f(S) dS + \(\int\)\(\int\)s g(S) dS où f(S) = p*sin(\(\alpha\)) et g(S) = \(\tau*cos(\alpha)\)

Je sais pas si c'est un bon début mais ça s'approche déjà plus d'une écriture que je pourrais comprendre.

Bref merci d'essayer de me vulgariser ces notions

PS :

Je suis en 1ère S, donc même la notion d'intégrale (de manière fondamentale) est un peu flou pour moi, je sais que ça correspond à une aire dans certains cas, que c'est liée aux primitives et que ça provient d'une somme infinie (de rectangles?) etc. tout ça pour vous dire que si les notions que je vous demande de m'expliquer sont trop compliquées à vulgariser, n'hésitez pas à me renvoyer vers d'autres références.

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Edité par MathisBinab 21 mars 2018 à 19:26:43

Bonsoir,

Attention, mon propos va être une explication vraiment "avec les mains" et manquer cruellement de rigueur mathématiques, mais ressemble beaucoup au raisonnement qu'on fait en physique.

Imagine que tu as une surface un peu biscornue, que tu ne peux pas décrire facilement et tu aimerais savoir comment une force agit sur cette surface. Par ailleurs, tu sais plus ou moins bien décrire ce qui se passe sur des surfaces élémentaires, c'est à dire très petites et plates. Tu peux imaginer que tu découpes ta grande surface \(S\) en plein de petits carrés \(\rm{d}S\), mais vraiment tout petit, et tu en as donc vraiment beaucoup... disons une infinité ! C'est presque comme si tu traçais un quadrillage très très fin sur ta surface et que tu remplaçais chacune des portions obtenue par un tout petit carré, on dit que c'est une surface infinitésimale.

Une fois que tu as tout tes carrés \(\rm{d}S\), tu peux exprimer comment la force s'exerce sur chacune de ces petites surfaces. Bien sûr ça va être une toute petite force : elle est infiniment petite. Pas grave : il suffit de faire la somme sur la grande surface entière de toute les petites forces, et tu obtiens la force qui s'exerce sur la surface entière. Ici, tu notes \(F(S)\) la force sui s'exerce sur chacune surface infinitésimale, et le signe \(\int \int\) signifie que tu fais la somme sur le domaine entier, on dit qu'on "intègre". Il y a ici deux signes \(\int\) car on intègre sur une surface, donc deux dimensions. Si tu intégrais sur un volume, tu en aurais 3 !

J'espère que ce moyen de voir te permet de comprendre un peu mieux de quoi il en retourne, n'hésite pas à demander des précisions si il y a des choses que tu ne comprends pas.

Poco_ a écrit:

J'espère que ce moyen de voir te permet de comprendre un peu mieux de quoi il en retourne, n'hésite pas à demander des précisions si il y a des choses que tu ne comprends pas.

Merci beaucoup ! C'est à peu près comme cela que j'avais appréhendé la chose mais vos explications m'ont aidé encore plus. 

Sinon j'ai quand même quelques questions :

Tout d'abord, cette question d'intégration de surface, j'ai bien compris qu'on intégrait sur une surface, mais dans le cas d'une intégrale "simple" d'une fonction continue et positive, l'intégrale n'est pas aussi une aire donc une surface ?

Ensuite :

Poco_ a écrit:

 Ici, tu notes \(F(S)\) la force sui s'exerce sur chacune surface infinitésimale, et le signe \(\int \int\) signifie que tu fais la somme sur le domaine entier, on dit qu'on "intègre". Il y a ici deux signes \(\int\) car on intègre sur une surface, donc deux dimensions. Si tu intégrais sur un volume, tu en aurais 3 !

Si je comprends bien, F(S)=p*dS*sin\(\alpha\) dans le cas de la pression, du coup écrire ça est correct je suppose : Fx=\(\int\)\(\int\)s f(S) dS + \(\int\)\(\int\)s ; cependant ne serait-t-il pas plus adapté d'appeler F(x) "f(x)" (pour moi F majuscule est une primitive, après peu être que c'est justement la nomenclature adaptée).

Sinon, vous n'êtes pas le premier à me répondre de la sorte, dans le sens où vous avez l'air de bien connaitre cette formule du module de traînée, aussi n'auriez-vous pas quelques références/cours à me conseiller sur le sujet ? 

Merci et bonne soirée à vous.

 Il me semble qu'il ne faut pas trop faire une fixation sur les intégrales doubles correspondant aux définitions théoriques des forces en présence. Même jusqu'à un niveau avancé, on aborde autrement la théorie des ailes - voir ci-après )! Si on veut néanmoins mentionner  cette expression générale, on peut aussi en dire dans ce cas   que:

1- la décomposition générale en deux termes de traînée de pression et de traînée visqueuse est à considérer   en terme d'ordres de grandeur selon la nature de l'obstacle.  Ici, si j'ai bien compris, on est concerné par l'aérodynamique du vol d'un oiseau, donc d'une aile ,  avec une analogie avec une aile d'avion ( littérature considérable sur le sujet!). 
Dans un obstacle en forme d'aile,en condition optimale,  le terme dû à la pression ( traînée de forme ) est faible par rapport à celui de la traînée visqueuse, environ 10%, à comparer par exemple à la traînée autour d'une sphère où elle représente 90 % du total.
Dans une plaque plane "idéalement"  mince , la traînée de pression est nulle si la plaque est parallèle à l'écoulement, elle vaut 100% si la plaque est perpendiculaire à cet écoulement. 

2- en    pratique,  une aile réelle  aura une épaisseur faible mais non nulle et une faible incidence par rapport à la vitesse d'écoulement, avec une aérodynamique dont le but est de trouver un optimum entre une  portance suffisante et  une traînée minimale , traînée directement liée à l'énergie à dépenser pour voler . L'augmentation de l'incidence augmente dans un premier temps la portance en dégradant la traînée jusqu'à une valeur critique où la portance chute assez  brutalement ( c'est le décrochage de l'aile qui ne peut être rattrapé  qu'en abaissant l'incidence et non en augmentant la vitesse si on est au delà de l'incidence critique).

    Concrètement, on aborde en pratique l’aérodynamique d'une aile ( mais c'est peut-être ce que tu fais dans ton TPE , je précise néanmoins à toutes fins utiles) à partir des deux formules pratiques essentielles donnant portance et  traînée :

 \(P=\frac{1}{2}\rho V^2 S C_z\)

\(T=\frac{1}{2}\rho V^2 S C_x \)

où les coefficients \(C_z\) et \(C_x\) sont déterminés  en fonction de l'incidence de vol (ils ne dépendent  pratiquement que de  cette incidence pour un profil d'aile donné en vol subsonique). Ce  sont les paramètres fondamentaux pour étudier le comportement ....  que on utilise plus souvent que les intégrales doubles!   Même avec les moyens de calcul actuels qui permettent des évaluations numériques lourdes, ces courbes sont encore le plus souvent validées en soufflerie. 

On en déduit aussi ce que on appelle la polaire de l'aile dans un diagramme \(C_x,C_z\) qui est aussi une donnée importante . A titre illustratif, la tête de ces courbes a l'allure suivante:

coefficient de portance: 

 

coefficient de trainée:

polaire, on notera que cette courbe donne tous les paramètres utiles de l'aile.:

Il y a physiquement une réflexion qualitativement  intéressante à mener sur le pourquoi de ces comportements, mentionnons sans être exhaustif:

. existence d'un \(\Delta P\) intrados extrados cause de la portance que on peut mettre simplement en évidence en appliquant le théorème de Bernouilli le long d'un filet fluide de part et d'autre de l'aile,

. Reynolds et couche limite sur l'aile, apparition de décollemnt sur l'extrados  , développement de tourbillons , jusqu'au décrochage . On peut noter que le coefficient de portance est pratiquement linéaire en fonction de l'incidence dans le domaine pratique d'utilisation ( même si la réalité est un peu moins "idéale" que celle de la courbe jointe) et .

. existence aussi des points   de trainée mini , de finesse maxi  qui permet le vol plané le plus long possible recherché par les planeurs ... et les grands oiseaux spécialistes des longs vols.

. sans être spécialiste des oiseaux, il me semble que l'on peut observer, au moins chez les plus grands lorsqu'ils atterrissent , la réalisation instinctive de l'arrondi que réalise un pilote  ... dans les deux cas manoeuvre aérodynamique finale pour éviter de se casser la figure au contact du sol ,  un peu plus génante dans le second cas si il est raté. 

. même si cela ne concerne pas les oiseaux je mentionne enfin le changement de comportement radical à l'approche du régime supersonique. Les avions subsoniques les plus rapides  gros porteurs actuels, en vol de croisière autour de 900 km/h , en tenant compte de l'abaissement de la vitesse du son avec l'altitude,  ont un début d'écoulement localement supersonique sur l'extrados  qui, s'il se développe trop, provoque une dégradation importante de la portance. Le domaine de vol à haute altitude a des restrictions strictes dûes au risque de décrochage à haute vitesse en raison de ce phénomène. 

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Edité par Sennacherib 22 mars 2018 à 12:15:30