Bonjour! 

Un petit problème que j’ai eu du mal à résoudre et je ne suis pas sûr d’avoir la bonne solution... 

Voici l’énoncé du problème: Cinq nombre rationnels sont tous différents. Deux d'entre-eux sont chacun le produit des quatre autre. Quatre d’entre-eux, dont le produit est 2016 sont des entiers relatifs.Le cinquième nombre est le plus grand possible, quel est son inverse?

A different de B different de C different de D different E

A=BCDE ET B=ACDE

Soit A/B = BCDE/ACDE en simplifiant A/B = B/A soit A^2 = B^2 or A different de B donc A et B égaux en valeur absolue mais de signes contraires 

De la même façon en partant de la première égalité 

AxB = BCDExACDE soit AxB = AxBx(CDE)^2

en divisant par AxB des deux côtés: (CDE)^2=1 

D’ou CDE = 1 ou -1. Comme C,D,E sont différents entre eux, la seule solution que je vois c’est que C = un nombre D= l'inverse de ce nombre et E=1 ou -1

Ensuite “Quatre d’entre eux dont le produit est 2016 sont des entiers relatifs“ : juste avant on a vu que D était un rationnel soit AxBxCxE = 2016, tous relatifs.

Le produit AB est forcement négatif puisque A et B sont de signes contraires, il peut donc s’écrire AB=-A^2.  2016 étant positif, le produit CE est forcément négatif aussi. 

Soit (-A^2)xCxE = 2016

Le cinquième nombre est le plus grand possible. Soit D = 1/C est le plus grand, donc C est le plus petit possible. 

Mettons E negatif et C positif

-A^2xCx(-1) =2016 soit A^2xC=2016 

Et la il faut que je divise 2016 par le nombre relatif le plus petit possible pour faire un carré parfait. En essayant, 12x12=2016/14 

On aurait alors A = 12 B = -12 C = 14 D = 1/14 E =-1 

Si on vérifie -12 x 14 x 1/14 x (-1) = 12 

12x 14 x 1/14 x (-1) = -12 Les deux premieres égalités sont vraies, 12 x -12 x 14 x (-1) = 2016 

Tout se vérifie, 1/14 Est ce le nombre rationnel le plus grand possible ? 

CDE=1 ou -1, ok. Mais tu conclues  que C=un nombre, D=l'inverse de ce nombre (j'ajoute au signe près), et E=1 ou -1.

Non.

On peut avoir par exemple C=2, D=3 et E=1/6. Un exemple parmi plein d'autres.