Quelqu'un peut m'aider à comprendre le lemme d'Arden s'il vous plait merci.

Règle d’Arden. Pour tout ensemble S et T de chaines, l’equation
X = S.X + T a comme solution X = S∗T
De plus cette solution est unique si epsilone
n’appartient pas a S.
Eléments de démonstration :
On peut aussi avoir l’idée de cette expression en itérant la partie droite de l’expression
en y injectant la valeur de X. On trouve alors X = S.(S.X +T )+T = S2.X +S.T +
S = S2.(S.X + T ) + S.T + S = S3.X + (S2 + S1 + S).T... On voit alors apparaitre
sur la partie la plus a droite partie de plus en plus complète de S ∗ .T .
De l’autre coté, on peut vérifier que S.S∗T + T = (S.S∗ + 1).T = S∗.T donc on
a bien une solution de l'équation.

Pas encore fait mais internet regorge d'explication. Je suis donc aller voir et comme c'est pas en 2 min que je vais assimiler la notion je te suggère de chercher.
Si tu pouvais utiliser les balises \<math\> ce serait plus clair.

Tu ne comprends pas quoi? La démonstration, la formulation du lemme, ce qu'on peut en faire...?

Oui, qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Tu as trois ensembles de mots (des langages) : S et T, qui sont connus, et X. Tu sais que X vérifie cette équation X = S.X + T, c'est à dire que tout mot u de X est construit sous la forme

- soit d'un mot de S concaténé avec un autre mot de X
- soit d'un mot de T

Tu as déjà fait de la théorie des langages ?

J'imagine que tu as compris l'existence : <math>\(S (S^\ast T) + T = (SS^\ast + \varepsilon) T = (S^+ + \varepsilon) T = S^\ast T\)</math> montre que <math>\(S^\ast T\)</math> est bien solution.




Détaillons l'unicité. Si <math>\(X\)</math> solution. Alors <math>\(X = S X + T\)</math>. Par une récurrence triviale, on a alors : <math>\((\forall p \in \mathbb N^\ast)\, X = S^p X + \left(\sum_{k=0}^{p}{S^k}\right) T\)</math>.
En sommant toutes ses relations, on a notamment : <math>\(X = S^+ X + S^\ast T\)</math>.


On peut donc établir le premier point essentiel de la démonstration : <math>\(\boxed{ S^\ast T \subseteq X }\)</math>.


Supposons alors par l'absurde qu'il existe un mot <math>\(u \in X \backslash (S^\ast T)\)</math>. On peut choisir ce mot de longueur minimale (par les axiomes de Peano). Ce mot n'étant pas dans <math>\(S^\ast T\)</math>, il existe un entier p non nul tel que <math>\(u \notin \left(\sum_{k=0}^{p}{S^k}\right) T\)</math> (sinon, il est encore dans la somme qui vaut <math>\(S^\ast T\)</math>).


On regarde alors la relation établie <math>\(X = S^p X + \left(\sum_{k=0}^{p}{S^k}\right) T\)</math> qui montre le deuxième point essentiel de cette démonstration : <math>\(\boxed{ u \in S^p X }\)</math>.


Ce n'est alors plus qu'un jeu de décomposition : <math>\(u \in S^p X\)</math> d'où <math>\(u = s x \, (s \in S^p , x \in X)\)</math> ; de plus <math>\(x \notin S^\ast T\)</math> (sinon u l'est aussi) ; et donc <math>\(x \in X \backslash (S^\ast T)\)</math> contredit la minimalité de u (x a une longueur strictement inférieure à u car S ne contient pas le mot vide).

Merci pour vos aide et pour m'avoir éclairer un peu la dessus. Sinon Litewolf la théorie des langages j'ai pas encore vue mais la théorie des automates oui enfin je commence à voir