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Relation de parité entre deux expressions

    30 juin 2022 à 13:17:19

    Bonjour,

    Je vous soumets un problème que je trouve intéressant, il regroupe en vérité 3 parties distinctes.

    Définitions :

    Soit n un entier naturel tel que (2n+2)/12 = k (k un entier naturel supérieur ou égal à 1).

    On définit l'expression suivante :

    (n-1)!-n est congru à r modulo (n+2) où r est le reste de la division de (n-1)!-n par n+2.

    Première partie :

    Le but de cette partie est de montrer qu'il existe une relation de parité entre k et r pour r différent de 2. C'est-à-dire que si k est pair alors r l'est aussi et si k est impair alors r l'est aussi.

    Par exemple avec n=11 on a (2*11+2)/12 = 2 donc k=2, k est pair. Et on a (11-1)!-11 congru à 8 modulo 13, donc r=8, r est pair aussi.

    Deuxième partie :

    Le but de cette partie est de prouver que la limite quand n tend vers l'infini de r/k = 3 (et on suppose toujours r différent de 2).

    Troisième partie :

    La plus intéressante à mon sens.

    On calcule les r consécutifs, on obtient une suite avec les 25 premiers termes qui sont les suivants :

    {5,8,11,2,17,20,23,2,2,32,35,38,41,2,2,50,53,56,2,2,65,2,71,2,77}

    On suppose toujours r différent de 2 pour nos calculs. Et on calcule la somme de deux r consécutifs, on commence avec 5+8=13, 8+11=19, on ne calcule pas 11+2 car on a supposé r différent de 2. Ensuite on calcule 17+20=37, 20+23=43, 32+35=67, 35+38=73, 38+41=79, 50+53=103, 53+56=109 etc.

    On remarque qu'on obtient uniquement des nombres premiers de la forme 6m+1 (m un entier naturel supérieur ou égal à 1).

    La conjecture est : est-ce toujours le cas pour n très grand ?

    Mes pistes :

    J'ai un peu cherché pour résoudre la première partie et la dernière partie.

    Et j'ai trouvé le théorème de Clément qui dit que le couple (n;n+2) est un couple de nombres premiers jumeaux si et seulement si 4[(n-1)!+1]+n est divisible par n²+2n.

    Je prends le cas des nombres premiers jumeaux car dans ce cas n est définit de telle façon que (2n+2)/12=k.

    Pour la dernière partie ça ressemble fortement au théorème de Wilson mais je peux me tromper...

    Avez-vous une idée ?

    Merci.

    -
    Edité par Craw 30 juin 2022 à 17:43:51

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      30 juin 2022 à 18:27:48

      > Soit n un entier naturel tel que (2n+2)/12 = k (k un entier naturel supérieur ou égal à 1).
      2n+2 est toujours pair, non?
      (2n+2)/12 = (n+1)/6 qui donne un entier.
      Te rappelles-tu tes nombres premiers jumeaux dont le premier était sous la forme  6n+5?
      6n+5+1 = 6n+6 qui se divise effectivement par 6
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      Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

        30 juin 2022 à 18:37:26

        @PierrotLeFou : en fait n=6k-1. C'est plus simple et ça revient au même.

        Et là 6k-1 est toujours impair. Ensuite on injecte cette valeur impaire de n dans la formule avec la factorielle.

        Pour la dernière partie j'ai pensé au théorème de Wilson mais ça y ressemble de loin, car le théorème de Wilson permet de tester si un nombre est premier ou pas. Là on construit une suite donc je ne sais pas si c'est ce théorème dont il est question.

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