Bonjour, je travail actuellement sur les fonctions exponentielles. Je rencontre cependant des difficultés.

1) Je dois résoudre une inéquation pour x \(\in\) \(\mathbb R+\)

Par exemple j'ai: \(2^{-x} < \frac{1}{x}\). J'ai réussi à développer et je trouve que \(x < 2^{x}\) donc x peut prendre n'importe quelle valeur positive.

Ensuite j'ai: \(3^{x} < x^{3}\). La je n'arrive pas à partir. Dois-je utiliser les logarithmes ?

2) Je dois trouver toutes les valeurs du paramètre k pour que l'équation ait une solution au moins.

\(3^{x} = k * x\). Là je ne comprends pas comment partir. Comment peut-on définir un ensemble de valeurs qui ont au moins une solution ?

Merci de votre aide

-
Edité par Mathieu Lamon 8 novembre 2017 à 18:10:48

Bonjour ! J'ai juste lu l'énoncé, je n'ai pas fait de calculs. Mais il me semble évident qu'il faut utiliser les logarithmes, puisqu'on doit résoudre ces inéquations sur les réels (et non pas sur les entiers), et que les fonctions \( a^x \) sont définies à l'aide de logarithmes.

L'idée que j'aurais pour la deuxième inéquation (mais je n'ai pas été au bout, donc je ne sais pas ce que ça vaut), c'est de remplacer \( 3^x < x^3 \) par \( \dfrac{\ln x}{x} > \dfrac{\ln 3}{3} \) puis étudier la fonction \( f:x \mapsto \dfrac{\ln x}{x} \) et de chercher à quelles conditions on aura \( f(x) > f(3) \). C'est juste une idée, je n'ai pas essayé. Mais même si ça ne marche pas, ça peut peut-être te donner d'autres idées, notamment pour le 2).

-
Edité par robun 9 novembre 2017 à 2:40:36

par rapport à la question évidente pour \(2^{-x}\leq \dfrac{1}{x},x \geq 0\), l'inégalité \(3^x\leq x^3\) est étrangement difficile et à mon avis l'intervalle où elle est vérifiée n'est pas trouvable autrement que numériquement.

On peut vérifier en traçant la courbe de la fonction \(f(x)=3^x-x^3\) qu'elle devient négative  sur un petit intervalle dont la borne supèriuere est bien sûr 3, mais la borne inférieure ne se trouve, je pense,  que par calcul numérique et vaut environ 2.478.

 L'inégalité suggéré par Robun conduit au même intervalle mais je   pense que cela ne permet pas d'avantage de trouver la borne inférieure autrement que numériquement  . Par contre cela permet sans doute de montrer plus facilement que cet intervalle existe dans la mesure où il est facile de voir que \(\dfrac{\ln(x)}{x}\) passe par un max pour \(x=e\) et que ce max vaut \(\dfrac{1}{e}\) qui est ( de très peu !) supérieur à \(\dfrac{\ln(3)}{3}\)

Pour la question 2, je pense qu'il faut calculer l'équation de la tangente à la courbe \(3^x\). La tangente qui passe par l'origine donne la valeur minimale de \(k\) vérifiant l'égalité et je pense que  tu dois trouver \(k\geq 3^{1/\ln 3} (\ln 3)\) 

ci-après un graphique qui résume tout ce qui a été dit par Robun et moi-même 

( suggestion: il est toujours utile de faire des graphes lorsque on bloque sur ce genre de problème ....  )

-
Edité par Sennacherib 9 novembre 2017 à 10:20:07

Bonjour,

Tout d'abord merci pour vos réponses Robun et Sennacherib. Cependant, pour la question 1, j'ai encore un problème de compréhension (sûrement stupide d'ailleurs): Comment passe-t'on de l'inéquation donnée à \(f(x) = 3^{x} - x^{3}\). Je ne comprends pas la relation entre les deux.

Pour la question 2, je vais jeter un oeil en détail dans la soirée et je vous tient au courant.

Sennacherib a écrit:

( suggestion: il est toujours utile de faire des graphes lorsque on bloque sur ce genre de problème ....  )

Oui, merci, il m'a bien aidé, je vais y penser plus souvent

l'inéquation \(3^x< x^3\) équivaut à chercher \(x\) tel que \(3^x-x^3<0\) , donc à chercher les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)<0, f(x)=3^x-x^3\) ...si c'est bien cela la question, ce dont je ne suis pas sûr...

Oui c'est bien ceci et c'est que je disais, c'était une question stupide...

Je comprends mieux maintenant pourquoi faire le graphe était vraiment utile en ayant "simplifier" cette inéquation, du fait que seul les valeurs négatives nous intéressent. Je dois arrêter de chercher trop loin.

Je contrôle tout ça en rentrant et je reviens vers vous. Merci

Oui, finalement hier soir j'avais poursuivi les calculs et fait le tableau de variation : on voit que l'intervalle cherché est limité à droite par 3 (puisque si x>e la fonction f est str. décroissante, donc x<3 → f(x)>f(3)), par contre à gauche ça ne m'avait pas l'air calculable à la main du coup je n'avais pas été plus loin. Si c'est un exercice, on demande probablement d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer l'existence de cet intervalle, puis de chercher une valeur approchée de la borne de gauche.

Pour le 2, il faut résoudre l'équation \( 3^x = kx \) en considérant que k est une constante, et ensuite, regarder dans quels cas (selon k) on a trouvé des solutions. Par exemple si l'équation aboutissait à \( x^2 = k \), on pourrait dire qu'il y a deux solutions lorsque k>=0 (\( -\sqrt{k} \) et \( \sqrt{k} \)) et aucune lorsque k<0.

-
Edité par robun 9 novembre 2017 à 13:31:46

robun a écrit:

Pour le 2, il faut résoudre l'équation \( 3^x = kx \) en considérant que k est une constante, et ensuite, regarder dans quels cas (selon k) on a trouvé des solutions. Par exemple si l'équation aboutissait à \( x^2 = k \), on pourrait dire qu'il y a deux solutions lorsque k>=0 (\( -\sqrt{k} \) et \( \sqrt{k} \)) et aucune lorsque k<0.

-
Edité par robun il y a 29 minutes

sur ce point, je ne comprends pas bien ton raisonnement, je pense avoir donner (sauf erreur ...)  la valeur "critique" explicita de \(k\) confirmée par le graphe.

-
Edité par Sennacherib 9 novembre 2017 à 14:05:18

C'est parce que j'ai oublié de citer la question à laquelle je répondais (pas facile avec cet éditeur de...) :

> Comment peut-on définir un ensemble de valeurs qui ont au moins une solution ?

(Mais ensuite en effet on aboutit à la démarche que tu as expliquée.)

-
Edité par robun 9 novembre 2017 à 19:00:41

On peut trouver une solution exacte de \(3^x = x^3\) avec la fonction W de Lambert : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_W_de_Lambert

On trouve :  soit ~ 2.47805

Après il y a d'autre solution : 3 (trivial), et des solutions complexe qu'on peut trouver sur mathematica (http://www.wolframalpha.com/input/?i=-3%2FLn(3)+*+ProductLog(1,-Ln(3)%2F3) )

-
Edité par moc_oo 9 novembre 2017 à 17:07:51

Merci robun et Sennacherib pour vos réponses détaillées, je crois que j'ai compris

moc_oo, merci c'est intéressant mais d'un niveau encore un peu trop compliqué

Bonsoir,

J'ai eu la correction des exercices en cours, et effectivement pour ces deux derniers il fallait passer par une résolution numérique.

Je trouvais ça bizarre sur le moment puisque toute la série jusqu'ici était résolue algébriquement.

Encore merci de votre aide

-
Edité par Mathieu Lamon 10 novembre 2017 à 20:01:25