salut, 

Comment peut on s'il vous plait demontrer que n²(n²-1) est divisible par 12 ?

je suis arrivé au stade de démontrer que (n+1)²[(n+1)²+1] est divisible par 12, j'ai besoin de demontrer que (n+1)²[(n+1)²+1] est divisible par 4,que c'est aussi divisible par 3 pour dire enfin que (n+1)²[(n+1)²+1]/3 et (n+1)²[(n+1)²+1]/4 alors (n+1)²[(n+1)²+1]/12 ? 

Et merci d'avance . 

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Edité par yasuofael 25 septembre 2019 à 1:49:59

Bonjour, 

Je ne suis pas du tout sur d'avoir compris ce que tu as fait. Donc tu essaye de démontrer que \( n^2(n^2 -1) \) est divisible par 12 et cela par récurrence. Donc lorsque tu dis que tu es au stade ou tu dois démontrer \( (n+1)^2((n+1)^2 -1) \) est divisible par 12, cela signifie que pour l'instant tu n'a fait que la partie "initialization" de la récurrence ? 

Ensuite, est-tu sur de vouloir faire une récurrence ? Le principe dans une récurrence est de montrer qu'une certaine propriété se conserve d'une itération à l'autre lors d'un processus. On pourrait appeler \( U_n = n^2(n^2 -1) \) . L'idée de la récurrence est de dire que si Un est divisible par 12 alors Un+1 l'est aussi. Et donc que si U_k est divisible par 12 alors \( \forall n \geq k, U_n \) est divisible par 12. 

Ici, ton objectif serait donc d'exprimer \( U_{n+1} \) en fonction de Un est de montrer que si Un est divisible par 12, alors Un+1 l'est aussi. Mais cela ne me semble pas intuitif

En particulier, on peut trouver que \( U_{n+1} = U_n + 4n^3 + 6n^2 +2n\)  mais cela ne nous donne rien. 

Pour moi, le plus "simple" serait de partir de \( n^2(n^2-1) \)  Montrer que ceci est divisible par 4 est simple : 
tu étudie le cas ou n est pair et le cas ou n est impair et montre que tu peux mettre 4 en facteur. Montrer que c'est également divisible par 3 semble plus complexe. 

 

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Edité par edouard22 25 septembre 2019 à 2:38:52

Tout d'abord merci pour votre réponse, ensuite je suis obligé de passer par la récurrence(dans la consigne), j'ai décidé de démontrer que U(n+1)/12 en démontrant que U(n+1)/3 et U(n+1)/4 car j'était incapable de la démontrer en fonction de Un. 

En effet elle ne mène a rien mais je pense que c'est le seul cas ou apparait Un .

j'ai pu le démontrer pour 4 il y a un moment déjà, mais pour le 3 j'essaie encore. 

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Edité par yasuofael 25 septembre 2019 à 2:42:36

Je pense avoir trouvé. 
De façon direct, on peut réécrire Un: \( U_n = n^2(n+1)(n-1) \)  On remarque que n-1,n et n+1 sont trois entier consécutifs et donc l'un d'eux est divisible par 3.  

Sinon par récurrence de la même façon :

\( U_{n+1} = U_n + 4n^3 + 6n^2 +2n = U_n  + 2n(  n+1 ) (2n+1) \) et tu dois pouvoir montrer en fonction des cas que soit n, n+1 ou 2n+1 est divisible par 3

edouard22 a écrit:

 Montrer que c'est également divisible par 3 semble plus complexe.

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Edité par edouard22 il y a environ 6 heures

le produit  de trois nombres consécutifs est non seulement divisible par 3 mais par 6. En effet , plus généralement le produit de p nombres consécutifs est divisble  par p!. Facile à voir avec les coefficients du binôme qui sont des entiers \(C_n^p=\frac{n!}{(n-p)!p!}\) donc \(p!C_n^p=\frac{n!}{(n-p)! }\) et le membre de droite est égal au produit de p nombres successifs .

edouard22 a écrit:

J 

\( U_{n+1} = U_n + 4n^3 + 6n^2 +2n = U_n  + 2n(  n+1 ) (2n+1) \) et tu dois pouvoir montrer en fonction des cas que soit n, n+1 ou 2n+1 est divisible par 3

les 3 cas possibles sont \(n=3k+r\) avec \(r=0,1,2\) Par substitution dans l'expression donnée par edouard22, on vérifie facilement qu' il y a toujours un des trois facteurs multiple de 3

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Edité par Sennacherib 25 septembre 2019 à 9:46:15

Ne peut on nous pas simplement, dire que puisque Un= n²(n²-1)=n²(n+1)(n-1) donc Un+1=(n+1)²(n+2)n, et puisque c'est le produit de trois nombres consécutifs alors U(n+1)/3 ? (si c'est juste)

Et je vous remercie infiniment pour votre aide. 

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Edité par yasuofael 25 septembre 2019 à 14:18:14

Oui mais dans ce cas, tu ne fais plus de récurrence

Pour faire de la récurrence, est il essentiel de démontrer Un+1 en fonction de Un, ou alors, peut on démontrer Un+1 tout simplement ?

yasuofael a écrit:

Pour faire de la récurrence, est il essentiel de démontrer Un+1 en fonction de Un, ou alors, peut on démontrer Un+1 tout simplement ?

oui. Quand tu fais une récurrence, pour démontrer l'hérédité tu fais l'hypothèse qu'il existe un rang n tel que la propriété est vrai à ce rang : ici que Un est bien divisible par 12. Puis  tu cherche à montrer que cette propriété se conserve au rang n+1. 

Si tu n'utilise pas l'hypothèse, alors celle-ci n'est pas utile et donc ce n'est pas une récurrence.

yasuofael a écrit:

puisque c'est le produit de trois nombres consécutifs alors U(n+1)/3 ? (si c'est juste)

 Une autre façon de le voir, complémentaire à la démonstration de Sennacherib est de voir que les multiples de 2 sont séparé par 2 nombres (2,4..) donc si tu multiplie 2 nombres consécutifs, tu vas avoir l'un des deux vas être un multiple de 2.  Les multiples de 3 sont séparés par 3 nombres donc si tu multiplie 3 nombres consécutifs, tu vas avoir l'un des deux vas être un multiple de 3.. ( et la multiplication des trois sera un multiple de 6 puisque tu as également multiplié deux nombres consécutifs ) 

Et cela se généralise : les multiples de p sont espacés de p nombres et donc si tu multiples p nombres consécutifs; leurs produits sera un multiples de tous les entier entre 1 et p et donc de p! 

Hs : Merci Sennacherib, j’avais totalement oublié cette propriété

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Edité par edouard22 25 septembre 2019 à 15:31:26

Je vous remercie tous les deux infiniment, vous m'avez été d'une grande aide, et surtout merci pour vos explication.

Au passage ça me fait penser un exercice tout-à-fait similaire : montrer que pour tout nombre entier \(n\) impair, \(n(n^2-1)\) est divisible par \(24\).