Bonjour !

Je me posais une question, dans quel ordre est apparu Pi dans les différentes équations, chronologiquement parlant ?

Voici a quoi je pense parfois avant de m'endormir (oui, je suis tordu).

On a défini Pi comme étant le rapport entre le diamètre et le périmètre. Les anciens ont mesuré, et ont réussi à voir que ça valait environ 3.14, mais surtout que ce rapport était constant quel que soit le diamètre.

Ce qui m'intéresse maintenant est l'aire du cercle, ou plutôt l'aire d'un quart de cercle. Je voulais voir comment retrouver Pi dans l'aire du quart de cercle.

J'ai donc fait une intégrale (une intégrale n'est jamais qu'une somme) de sqrt(1-x²) entre 0 et 1 (cerce de rayon 1)

Mais pour résoudre cette intégrale, j'ai du passer par les sinus et cosinus, et utiliser donc Pi.

Peut on calculer l'aire d'un cercle sans trigonométrie ? Comment les anciens qui avaient découvert Pi comme le rapport entre le diamètre et le périmètre l'ont fait réapparaître par la suite, sans encore connaître la trigo, dans l'aire du cercle ?

Merci !

Salut

Par petite expérience de pensée, si tu découpes ton cercle en une multitude de petits arcs et que tu les superposes en alternant leurs sens, tu vas finir avec quelques choses de très proche d'un rectangle dont les dimensions sont D÷2 pour la base et P÷2 pour la hauteur.

Tu retrouves donc A = B×h = P×D÷4 = Pi×D^2÷4

A priori, il faut voir le cercle ou le disque comme un polygone régulier, avec 10 côtés, pus 20, puis 1000 ...

On a donc 1000 triangles isocèles OAB, avec un angle O égal à 'tour d'horloge / 1000' ... ( je préfère parler de tour d'horloge plutôt que de PI ou de 360°).  Je pense que les triangles étaient bien connus, et qu'on savait assez bien calculer la surface d'un triangle , en particulier d'un triangle isocèle (un triangle isocèle, c'est 2 triangles rectangles adjacents). Et je pense qu'à partir de là, on arrive assez bien à la conclusion que la constante PI qui marche pour le périmètre, elle marche aussi pour la surface.

Une des anciennes méthodes pour calculer l'aire d'un disque est illustrée par ce dessin (qui correspond à ce qu'a décrit Forgive Me) :

On voit que π intervient à cause du périmètre.

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Edité par robun 23 mai 2018 à 15:24:58

les polygones pour approcher \(\pi\), c'est Archimède le premier qui y aurait  pensé  ( selon les sources). Il est allé jusqu'à un polygone régulier de  96 côtés. 

Il a trouvé un encadrement correct   en utilisant un polygone inscrit et un polygone circonscrit au cercle. ( je ne sais pas s'il a lancé aussi Eureka comme pour sa poussée ) 

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Edité par Sennacherib 23 mai 2018 à 15:29:11

Merci pour ces explications ! 

Pour la notion de dérivée, il me semble qu'elle n'a été définie qu'au 17e siècle avec Newton.

Par contre, en effet, la méthode des triangles me semble excellente !

Merci à tous !