Bonjour,

En parcourant de vieux cours, je suis tombé sur un problème de RO dont j'ai la solution, mais pas l'explication.

Si je considère un nombre N de points de livraison dans une zone S (en km²), alors, la densité des livraisons est : d = N/S.

La distance moyenne est alors : Dm = (d^(-1/2))((0.62N+2.1)/N)

Impossible de retrouver dans mes notes d'où sort 0.62 et 2.1

Si quelqu'un a une piste, je suis preneur.

Khâ

pour tenter de retrouver cette formule, il faudrait en savoir plus sur les hypothèses. Elle correspond vraisemblablement à une situation plus précise qu'il n'est dit. Ce qui est a priori logique, c'est de trouver un  résultat proportionnel à \(\frac{1}{\sqrt{d}}\) ( pour un volume, on trouverait la racine cubique, \(\frac{1}{d}=\frac{S}{N}\)  représentant la surface moyenne élémentaire occupée pour  des points qui  seraient "équirépartis".

La seule connaissance de cette densité  donc de cette surface moyenne, parait bien insuffisante pour faire un calcul si on n' a aucune indication sur la loi de répartitions des points. Pour un même \(d\), les points peuvent  être tous dans un même coin ou équi-répartis, ou aléatoirement selon une loi de densité à connaitre . 

Je pense aussi que, pour un même surface et une loi de répartition données, cela va dépendre de la forme de la surface . Entre un rectangle très allongé et un carré de même surface, il est probable que \(D_m\) sera différent .

Dernier point qui me parait bizarre dans cette formule: lorsque le nombre de points N augmente, \(D_m \rightarrow 0\), puisque le coefficient tendrait vers 0.62 et l'inverse de la densité évidemment vers 0,  ce qui est pour le moins bizarre...  Ce qui tend vers 0, c'est la distance d'un point avec ses plus proches voisins, pas la distance moyenne entre tous les points ... à moins que "distance moyenne" désigne effectivement la distance moyenne d'un point à son plus proche voisin , donc à préciser .

edit

On trouve de nombreux liens qui se rapportent à ce sujet si on cherche sur le Net en utilisant le terme " semi de points". On se rend compte que c'est un problème ... pas simple.

Voir par exemple ce lien sous forme de cours qui, même si on le survole, permet d'avoir une vue générale des  questions qui se posent. http://grasland.script.univ-paris-diderot.fr/go303/ch1/ch1.htm
Par rapport à la remarque ci-dessus, j'ai tendance à penser que le \(D_m\) serait donc plutôt la distance moyenne entre proches voisins, qui est une quantité qui semble largement intervenir dans ce genre d'étude . On montre que cette distance moyenne pour une distribution aléatoire est  donné par \(D_0=\frac{0.5}{\sqrt{d}}\).

A la fin du document on trouve un exemple étudiant l'écart à une distribution aléatoire avec l'exemple N=10. La formule proposée ici indiquerait, avec \(\frac{D_m}{D_0} \sim  1.66\)  une tendance à  une dispersion plus grande que une répartition aléatoire.

Dans l'exemple de cette répartition sur un  carré, lorsque le  rapport augmente, on voit que la répartition devient de plus en plus uniforme ( exemples jusqu'à 2.149).
En fait il est facile de calculer la limite de ce rapport pour une répartition qui serait strictement uniforme sur le carré  ( un point par petit carré de côté \(\sqrt{\frac{S}{N}})\) , elle vaut \(1+\sqrt{2} \sim 2.414\)

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Edité par Sennacherib 27 mars 2019 à 11:17:55